6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Есеп №1. Координата жазықтығында

$AB$ түзуі абсцисса осіне, ал

$AC$ түзуі ордината осіне параллель болатындай

$y_1=\frac{2}{x}$ гиперболасы графигінен

$A$ нүктесі, ал

$y_2=\frac{1}{x}$ гипербола графигінен

$B$ және

$C$ нүктелері таңдалған.

$ABC$ үшбұрышының ауданын табыңдар. (

$A,B,C$ нүктелері координата жазықтығының бірінші ширегінен таңдалады.)
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABCD$ дөңес төртбұрышында

$AC=AB$ ,

$\angle BCD=90^\circ$ ,

$\angle DAC=\angle DBA$ шарттары орындалады.

$BD/AD$ қатынасын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$a^2+b$ саны

$b^2-a$ санына және

$b^2+a$ саны

$a^2-b$ санына бөлінетіндей барлық

$(a,b)$ натурал сандар жұптарын табыңдар.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Егер қосындылары да, көбейтінділері де

$n$ -ге тең болатын

$n$ бүтін сан табылса,

$n$ санын әдемі деп атаймыз.
а) 4-ке бөлгенде 1 қалдық беретін кез келген натурал сан әдемі екенін дәлелдеңдер.
б) 8-ден кем емес және 4-ке бөлінетін кез келген натурал сан әдемі екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Қатарға 40 әртүрлі сан жазылған. Бұл сандардың әрбірі 0-ден үлкен, бірақ 1-ден кіші. Жұп нөмірлі орында тұрған сандардың қосындысы, тақ нөмірлі орында тұрған сандардың қосындысынан 1-ге үлкен. Қатарда екі көршісінің әрбірінен кіші болатын сан табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)