6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур
В ряд выписано 40 различных чисел. Каждое из этих чисел больше 0 но меньше 1. Сумма чисел, стоящих на местах с четными номерами, на 1 больше, чем сумма чисел, стоящих на местах с нечетными номерами. Докажите, что в ряду найдется число, которое меньше каждого из двух своих соседей.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Допустим такого не будет. То самое наибольшее число в данной последовательности больше двух своих соседей. Пусть ai - максимальное число, то существует сосед ,либо ai−1, либо ai+1. Если существует один из этих соседей, то существуют ,либо ai−2, либо ai+2. Где ai−1>ai−2,ai+1<ai+2. Рассуждая из противного получаются 2 монотонные цепочки. Не трудно догадаться, что максимальное число стоит на четном месте. И после верно неравенство S2i+1>S2i+a1−ai=>ai>1+a1>1, но ai<1. Противоречие .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.