6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Задача №1. Найдите

$x$ из уравнения

$\frac{2}{43}=\frac{1}{42} + \frac{1}{86}+\frac{1}{129}+\frac{1}{x}$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Дана бесконечная последовательность дробей, имеющая некоторую закономерность:

$\frac{1}{2},\frac{1}{4}$ ,

$\frac{3}{4}$ ,

$\frac{1}{6}$ ,

$\frac{3}{6}$ ,

$\frac{5}{6}$ ,

$\frac{1}{8}$ ,

$\ldots$ . На каком месте стоит дробь

$\frac{2023}{2024}$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусь

$AD$ — биссектриса треугольника

$ABC$ и точка

$E$ взята на стороне

$AB$ так, чтобы

$\angle ACE=\angle ABC$ . Найдите градусную меру угла

$ABC$ , если

$\angle AEC=85^\circ$ ,

$\angle ADC=70^\circ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Кемель написал на доске подряд только неотрицательные целые четные числа:

$024681012\ldots$ . Найдите цифру в стоящую на 2023 месте в полученной последовательности.
комментарий/решение(3)

Задача №5. Вычислите

$\text{НОД}\left( 111111111111, 11111111 \right)$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Известно, что

$a:b=1:2$ ,

$b:c=3:4$ ,

$c:d=2:7$ и

$\frac{a+b+c+d}{5}=18$ . Найдите значение выражения

$\frac{abcd}{32}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №7. Углы

$A$ и

$B$ треугольника

$ABC$ увеличили вдвое, в результате чего угол

$C$ уменьшился в двое. Скольким градусам изначально был равен угол

$C$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №8. На рисунке изображены 5 прямых, пересекающиеся в одной точке. Один из получившихся углов равен

$34^\circ$ . Сколько градусов составляет сумма четырёх углов, закрашенных серым цветом?

комментарий/решение(1)

Задача №9. Если в треугольнике провести медиану к большей стороне, то разность периметров полученных маленьких треугольников будет равна 10, если провести к меньшей стороне — будет также равна 10. Чему будет равна модуль разности периметров маленьких треугольников, полученных после проведения медианы к средней стороне?
комментарий/решение(1)

Задача №10. На командной олимпиаде дали несколько задач. Первый ученик мог бы один решить все задачи за 1 час, а второй — за 45 минут. В начале олимпиады они начали решать вместе, и после 20 минут первому ученику стало плохо, и он решил уйти с олимпиады. Через сколько минут второй ученик решит все оставшиеся задачи? Каждую задача решается только одним учеником.
комментарий/решение(1)

Задача №11. Вид первого сока содержит 20\% нектара, а второго — 23\%. Когда смешали несколько граммов первого сока и несколько граммов второго, получилось 400 граммов сока, содержащий 22,25\% нектара. Сколько граммов второго сока было до смешиваний?
комментарий/решение(1)

Задача №12. На координатной плоскости заданы точки

$A(X;-5)$ ,

$B(2, Y)$ ,

$C(X + 5; Y-6)$ . Если точка

$C$ является серединой отрезка

$AB$ , то найдите значение модуля

$|X\cdot Y|$ .
комментарий/решение

Задача №13. Арман задумал число, которое составляет 4/5 часть числа, задуманного Канатом. Если из числа, задуманного Арманом, вычесть 2, а из числа, задуманного Канатом, 5, то соответствующее отношение полученных разностей будет равно 17/20. Какое число задумал Арман?
комментарий/решение(1)

Задача №14. Для некоторых натуральных

$n$ , найдется натуральное

$x$ такое, что

${{42}^{n}}={{x}^{2}}n$ . Среди всех таких

$n$ найдите наименьшее.
комментарий/решение(4)

Задача №15. Если

$A=\frac{1}{{{2}^{2}}-1}+\frac{1}{{{3}^{2}}-1}+\frac{1}{{{4}^{2}}-1}+\ldots +\frac{1}{{{29}^{2}}-1}$ , то чему равно значение выражения

$870A$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №16. Известно, что

$A={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+\ldots +{{2023}^{2}}$ ,

$B={{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{6}^{2}}+\ldots +{{2022}^{2}}$ . Найдите значение выражения

$\frac{A-B}{2023}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №17. Найдите наибольшее число

$p$ такое, что все числа

$p$ ,

$\frac{p+1}{2}$ ,

$\frac{p+2}{5}$ являются простыми.
комментарий/решение(1)

Задача №18. Найдите число натуральных решений

$\left( x, y, z \right)$ уравнения

$2x+y+z=101$ .
комментарий/решение(1)

Задача №19.

$A$ и

$B$ двузначные натуральные числа такие, что

$\frac{A-5}{A}+\frac{4}{B}=1.$ Какое наибольшее значение может принимать число

$B$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №20. Цифры 1, 2, 3,

$\ldots$ , 9 записали по кругу в некотором порядке. Возьмем все трехзначные числа (таких чисел 9), полученные взятием трёх цифр подряд по часовой стрелке. Какова сумма всех этих девяти чисел?
комментарий/решение(1)