6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Есеп №1. $\frac{2}{43}=\frac{1}{42} + \frac{1}{86}+\frac{1}{129}+\frac{1}{x}$ теңдеуінен $x$-тің мәнін тап.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. $\frac{2023}{2024}$ бөлшегі $\frac{1}{2},\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{1}{8}$, $\ldots$ шексіз тізбегінің нешінші мүшесі? Тізбектегі бөлшектер белгілі бір заңдылыққа бағынады.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының $AD$ биссектрисасы және $AB$ қабырғасынан $\angle ACE=\angle ABC$ болатындай $E$ нүкесі алынған. Егер $\angle AEC=85^\circ$, $\angle ADC=70^\circ$ болса, $ABC$ бұрышы неше градусқа тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кемел тақтаға тек теріс емес бүтін жұп сандарды қатарынан тізіп жазды: $024681012\ldots$. Пайда болған тізбектегі 2023-орындағы цифрды тап.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Есепте: $\text{ЕҮОБ}\left( 111111111111, 11111111 \right)$.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Егер $a:b=1:2$, $b:c=3:4$, $c:d=2:7$ және $\frac{a+b+c+d}{5}=18$ болса, $\frac{a\cdot b\cdot c\cdot d}{32}$ өрнегінің мәнін есепте.
комментарий/решение(2)

Есеп №7. $ABC$ үшбұрышының $A$ және $B$ бұрыштары екі еселенген, сонда нәтижесінде $C$ бұрышы екі есе азаяды. $C$ бұрышы бастапқыда неше градусқа тең болған?
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Суретте бір нүктеде қиылысатын 5 түзу көрсетілген. Алынған бұрыштардың бірі $34^\circ$. Төрт сұр бұрыштың қосындысы неше градусқа тең?

комментарий/решение(1)

Есеп №9. Үшбұрыштың үлкен қабырғасына медиана жүргізсек, онда пайда болған кіші үшбұрыштардың периметрлерінің айырмасы 10-ға тең болады, егер кіші қабырғасына жүргізсек — ол да 10-ға тең болады. Егер үшбұрыштың ортаңғы қабырғасына медиана жүргізсек, пайда болған кіші үшбұрыштардың периметрлерінің айырмасының модулі нешеге тең болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №10. Командалық олимпиадада бірнеше есептер берілді. Бірінші оқушы жеке өзі барлық есептерді 1 сағатта, ал екінші оқушы 45 минутта шығара алады. Олимпиаданың басында олар есептерді бірге шеше бастады, сосын 20 минуттан кейін бірінші оқушы ауырып, ол олимпиададан кетуге шешім қабылдады. Екінші оқушы барлық қалған есептерді неше минутта шешеді? Әрбір есепті бір оқушы ғана шешеді.
комментарий/решение(1)

Есеп №11. Бірінші сусынның құрамында 20\%, ал екіншісінде 23\% шырын бар. Бірнеше грамм бірінші сусын мен бірнеше грамм екіншісін араластырғанда, құрамында 22,25\% шырын бар 400 грамм сусын алынды. Араластыру алдында екінші сусын қанша грамм болды?
комментарий/решение(1)

Есеп №12. Координаталар жазықтығында $A(X; -5)$, $B(2, Y)$, $C(X+5;Y-6)$ нүктелері берілген. Егер $C$ нүктесі — $AB$ кесіндісінің ортасы болса, $|X\cdot Y|$-тің мәні нешеге тең?
комментарий/решение

Есеп №13. Арман бір сан ойлады, ол Қанат ойлаған санның $\frac{4}{5}$ бөлігіне тең. Егер Арман ойлаған саннан 2-ні, ал Қанат ойлаған саннан 5-ті азайтса, шыққан айырмалардың, сәйкесінше, қатынасы $\frac{17}{20}$-ге тең болды. Арман қандай сан ойлаған?
комментарий/решение(1)

Есеп №14. Кейбір натурал $n$ саны үшін ${{42}^{n}}={{x}^{2}}n$ теңдеуін қанағаттандыратын натурал $x$ саны табылады. Осындай $n$-дердің ең кішісі нешеге тең?
комментарий/решение(4)

Есеп №15. $A=\frac{1}{{{2}^{2}}-1}+\frac{1}{{{3}^{2}}-1}+\frac{1}{{{4}^{2}}-1}+\ldots +\frac{1}{{{29}^{2}}-1}$ болса, $870A$ өрнегінің мәні нешеге тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №16. $A={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+\ldots +{{2023}^{2}}$, $B={{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{6}^{2}}+\ldots +{{2022}^{2}}$ болса, $\frac{A-B}{2023}$ өрнегінің мәнін тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №17. $p$, $\frac{p+1}{2}$, $\frac{p+2}{5}$ сандары жай сан болатындай ең үлкен $p$-ның мәнін тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №18. $2x+y+z=101$ теңдеуінің натурал сандар жиынында қанша шешімі бар?
комментарий/решение(1)

Есеп №19. $A$ және $B$ сандары $\frac{A-5}{A}+\frac{4}{B}=1$ орындалатындай екітаңбалы натурал сандар. $B$ санының ең үлкен мәні нешеге тең бола алады?
комментарий/решение(1)

Есеп №20. Шеңбер бойымен 1, 2, 3, $\ldots$, 9 сандары қандай да бір ретпен жазылған. Сағат тілі бағытымен қатар тұрған барлық 3 таңбалы сандарды (ондай 9 сан бар) алайық. Сол сандардың қосындысы нешеге тең?
комментарий/решение(1)