6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Известно, что $A={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+\ldots +{{2023}^{2}}$, $B={{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{6}^{2}}+\ldots +{{2022}^{2}}$. Найдите значение выражения $\frac{A-B}{2023}$.

Комментарий/решение

$1^2-{(1+1)}^2+{(1+2)}^2-{((1+2)+1)}^2+ \cdots +{(1+2020)}^2-{((1+2020)+1)}^2+2023^2 = -({(1+1)}^2-1^2+{((1+2)+1)}^2-{(1+2)}^2+ \cdots +{((1+2020)+1)}^2-{(1+2020)}^2)+2023^2 = -(2+1+2(1+2)+1+2(1+4)+1 \cdots +2*(1+2020)+1)+2023^2 = -(1011+2(1011+2(1+2+3+ \cdots +1010)))+2023^2 = -(1011+2(1011+1010*1011))+2023^3 = -(1011+2*1011^2)+2023^2 = -1011*(2022+1)+2023^2 = 2023(-1011+2023) = 2023*1012$

$\dfrac{2023*1012}{2023}=1012$

$Отв:1012$