қазақша
русский6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур
Задача №1. Найдите $x$ из уравнения $\frac{2}{43}=\frac{1}{42} + \frac{1}{86}+\frac{1}{129}+\frac{1}{x}$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Дана бесконечная последовательность дробей, имеющая некоторую закономерность: $\frac{1}{2},\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{1}{8}$, $\ldots$. На каком месте стоит дробь $\frac{2023}{2024}$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусь $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$ и точка $E$ взята на стороне $AB$ так, чтобы $\angle ACE=\angle ABC$. Найдите градусную меру угла $ABC$, если $\angle AEC=85^\circ$, $\angle ADC=70^\circ$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Кемель написал на доске подряд только неотрицательные целые четные числа: $024681012\ldots$. Найдите цифру в стоящую на 2023 месте в полученной последовательности.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Известно, что $a:b=1:2$, $b:c=3:4$, $c:d=2:7$ и $\frac{a+b+c+d}{5}=18$. Найдите значение выражения $\frac{abcd}{32}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №7. Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ увеличили вдвое, в результате чего угол $C$ уменьшился в двое. Скольким градусам изначально был равен угол $C$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. На рисунке изображены 5 прямых, пересекающиеся в одной точке. Один из получившихся углов равен $34^\circ$. Сколько градусов составляет сумма четырёх углов, закрашенных серым цветом?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №9. Если в треугольнике провести медиану к большей стороне, то разность периметров полученных маленьких треугольников будет равна 10, если провести к меньшей стороне — будет также равна 10. Чему будет равна модуль разности периметров маленьких треугольников, полученных после проведения медианы к средней стороне?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №10. На командной олимпиаде дали несколько задач. Первый ученик мог бы один решить все задачи за 1 час, а второй — за 45 минут. В начале олимпиады они начали решать вместе, и после 20 минут первому ученику стало плохо, и он решил уйти с олимпиады. Через сколько минут второй ученик решит все оставшиеся задачи? Каждую задача решается только одним учеником.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №11. Вид первого сока содержит 20\% нектара, а второго — 23\%. Когда смешали несколько граммов первого сока и несколько граммов второго, получилось 400 граммов сока, содержащий 22,25\% нектара. Сколько граммов второго сока было до смешиваний?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №12. На координатной плоскости заданы точки $A(X;-5)$, $B(2, Y)$, $C(X + 5; Y-6)$. Если точка $C$ является серединой отрезка $AB$, то найдите значение модуля $|X\cdot Y|$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №13. Арман задумал число, которое составляет 4/5 часть числа, задуманного Канатом. Если из числа, задуманного Арманом, вычесть 2, а из числа, задуманного Канатом, 5, то соответствующее отношение полученных разностей будет равно 17/20. Какое число задумал Арман?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №14. Для некоторых натуральных $n$, найдется натуральное $x$ такое, что ${{42}^{n}}={{x}^{2}}n$. Среди всех таких $n$ найдите наименьшее.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №15. Если $A=\frac{1}{{{2}^{2}}-1}+\frac{1}{{{3}^{2}}-1}+\frac{1}{{{4}^{2}}-1}+\ldots +\frac{1}{{{29}^{2}}-1}$, то чему равно значение выражения $870A$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №16. Известно, что $A={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+\ldots +{{2023}^{2}}$, $B={{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{6}^{2}}+\ldots +{{2022}^{2}}$. Найдите значение выражения $\frac{A-B}{2023}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №17. Найдите наибольшее число $p$ такое, что все числа $p$, $\frac{p+1}{2}$, $\frac{p+2}{5}$ являются простыми.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №18. Найдите число натуральных решений $\left( x, y, z \right)$ уравнения $2x+y+z=101$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №19. $A$ и $B$ двузначные натуральные числа такие, что $\frac{A-5}{A}+\frac{4}{B}=1.$ Какое наибольшее значение может принимать число $B$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №20. Цифры 1, 2, 3, $\ldots$, 9 записали по кругу в некотором порядке. Возьмем все трехзначные числа (таких чисел 9), полученные взятием трёх цифр подряд по часовой стрелке. Какова сумма всех этих девяти чисел?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)