6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 1 тур

Задача №1. В окружность радиусом 20 вписан квадрат (см. рис.). Найдите сумму площадей закрашенных частей. Считайте, что

$\pi = 3,\!14$ .

комментарий/решение(2)

Задача №2. На рисунке даны три круга радиусов 100 см, 200 см и 300 см, имеющие общий центр. Мышка пробежала из края большого круга (точки

$X$ ) до центра (до точки

$Y$ ) по выделенной жирной траектории. Сколько сантиметров пробежала мышка? Считайте, что

$\pi = 3,\!14$ .

комментарий/решение(2)

Задача №3. Внутри квадрата расположены три меньших квадрата так, как показано на рисунке . Скольким сантиметрам равна длина отрезка, обозначенного знаком вопроса?

комментарий/решение(2)

Задача №4. Когда в примере разности чисел некоторые цифры заменили звездочкой, то получилось:

$1*3*2-649*=8*95$ . Чему равна сумма цифр, замененных звездочками?
комментарий/решение(1)

Задача №5. На какое число поделили число 2023, если в частном получилось 43, а в остатке 2?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Найдите натуральное число

$n$ такое, что выполнены неравенства

$2,5 < 3\frac{5}{{12}} - \frac{n}{4} < 2\frac{5}{6}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №7. Щенок Армана выпивает 6 чашек молока в день, а 5 литров молока, как известно, стоит 1500 тг. Если вместимость чашки 250 мл, на сколько тенге Арман должен купить молоко для щенка на 10 дней?
комментарий/решение(2)

Задача №8. В турнире участвуют 16 шахматистов, где каждый игрок должен играть с каждым другим ровно один раз. В некоторый момент времени из сыгранных партий Асан имел половину выигрышей, треть проигрышей и 2 ничьих. Сколько партий ещё оставалось сыграть Асану?
комментарий/решение(2)

Задача №9. Каждую задачу по геометрии Арман решает за 3 минуты, а Талгат — за 5 минут. Каждую логическую задачу Арман решает за 9 минут, а Талгат — за 7 минут. За какое наименьшее время (в минутах) Арман и Талгат вместе решат 9 геомертических и 5 логических задач? (Каждую задачу они решают индивидуально.)
комментарий/решение(1)

Задача №10. Пусть

$A = 1! + 2! + 3! + \ldots + 2023!$ . Вычислите остаток от деления

$A$ на 100. Как обычно, через

$n!$ обозначется произведение всех натуральных чисел от 1 до

$n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №11. Если сложить количество зайцев и волков в лесу, то сумма будет в 5/3 раза больше количества медведей и на 1 больше количества птиц. Если 7/8 количества ног волков равно количеству зайцев, а сумма количества ног медведей и количество ушей зайцев в 4 раза больше, чем количество птиц, то сколько медведей в лесу?
комментарий/решение(3)

Задача №12. Два малыша делились конфетами. Сначала первый дал половину своих конфет (отдал второму), потом второй дал половину своих первому, потом снова первый дал половину своих. В результате у первого оказалось 15 конфет, а у второго — 33. Сколько конфет было у первого в начале?
комментарий/решение(2)

Задача №13. Найдите сумму всех трехзначных чисел, цифры которых не повторяются.
комментарий/решение

Задача №14. Среди всех 10-значных чисел, цифры которых не повторяются и делятся на 36, пусть

$A$ — наибольшее, а

$B$ — наименьшее. Найдите сумму

$A + B$ .
комментарий/решение(1)

Задача №15. В ряд выписали числа в порядке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и перед каждым числом записали знаки «

$+$ » или «

$-$ ».Тогда значение выражения оказалось равным 7. Какова сумма чисел, стоящих после знаков плюс?
комментарий/решение(1)

Задача №16. Сколько существует натуральных пар

$(X,Y)$ таких, что

$\text{НОД}(X,Y)=8$ и

$X \cdot Y = 384$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №17. Запишите наибольшее четырехзначное число, первые две цифры которого меньше суммы двух последних цифр.
комментарий/решение(1)

Задача №18. Даны числа 1, 2, 3,

$\ldots$ , 2023. Сколько из этих чисел имеют не менее трех одинаковых цифр?
комментарий/решение(1)

Задача №19. В клетчатом прямоугольнике

$20\times 23$ произвольным образом закрасили 4 строки и 4 столбца. Сколько всего клеток закрасили?
комментарий/решение(5)

Задача №20. Если

$c\ne 0$ ,

$a+b+d=m\cdot n$ ,

$n\cdot c=a$ и

$b\cdot c+d\cdot c+4c=m\cdot a$ то, найти значение

$a$ .
комментарий/решение(2)