Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышының

$A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ чевианалары үшбұрыштың ішкі

$P$ нүктесінде қиылысады.

${{S}_{a}},{{S}_{b}},{{S}_{c}}$ арқылы сәйкесінше

$A{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ ,

$B{{C}_{1}}{{A}_{1}}$ ,

$C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрыштарының аудандарын белгілейік.

${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрышы-ның ауданы

${{x}^{3}}+\left( {{S}_{a}}+{{S}_{b}}+{{S}_{c}} \right){{x}^{2}}-4{{S}_{a}}{{S}_{b}}{{S}_{c}}=0$ теңдеуінің түбірі болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$\left( {{1}^{4}}+{{1}^{2}}+1 \right)\left( {{2}^{4}}+{{2}^{2}}+1 \right)\ldots \left( {{n}^{4}}+{{n}^{2}}+1 \right)$ өрнегінің мәні ешбір натурал

$n$ үшін толық квадрат болмайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Теңдеулер жүйесін нақты сандар жиынында шешіңдер:

$\sqrt{x}-\dfrac{1}{y}=\sqrt{y}-\dfrac{1}{z}=\sqrt{z}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{4}.$
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Нақты

$c$ параметрінің қандай мәндері үшін

$y={{x}^{4}}+9{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+9x+4$ қисығын әртүрлі төрт нүктеде қиып өтетін түзу табылады?
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$D,E,F$ нүктелері — сәйкесінше

$A$ ,

$B$ ,

$C$ төбелерінен түсірілген биіктіктердің табандары, ал

$H$ — үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

$\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}=2$ теңдігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Қорапшада әрқайсысының номиналы дукаттың натурал саны болатын

$n$ монета бар, және осы қорапшадағы монеталардың жалпы құны

${2n-1}$ дукат екені белгілі. Олай болса,

$1$ мен

${2n-1}$ аралығындағы кез келген бүтін дукаттық соманы осы қорапшадағы монеталардың көмегімен жасауға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)