Областная олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс
Решите систему уравнений $\sqrt x-\frac{1}{y}=\sqrt y-\frac{1}{z}=\sqrt z-\frac{1}{x}=\frac{7}{4}$
в вещественных числах.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
$$f(x)=\sqrt{x}$$
$$g(x)=\frac{7}{4}+\frac{1}{x}$$
$$f(x)+f(y)+f(z)=g(x)+g(y)+g(z)\Rightarrow x=y=z$$
$$f(x)=g(x)\Rightarrow x=4=y=z$$
Ответ: $(x,y,z)=(4,4,4).$
Очевидно, что $x,y,z>0\implies \exists a,b,c>0,$ что $a^2=x,b^2=y,c^2=z.$ Тогда
$$a-2=\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{(2-b)(2+b)}{(2b)^2},$$
$$b-2=\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{(2-c)(2+c)}{(2c)^2},$$
$$c-2=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{(2-a)(2+a)}{(2a)^2}.$$
Пусть $X=(a-2)(b-2)(c-2),$ тогда $X=-X\cdot Y,$ где $Y>0.$ Поэтому $X=0\implies 0\in\{a-2,b-2,c-2\},$ откуда $(a,b,c)=(2,2,2).$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.