қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. В треугольнике $ABC$ три чевианы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. Обозначим через $S_a$, $S_b$, $S_c$ площади треугольников $AB_1C_1$, $BC_1A_1$, $CA_1B_1$ соответственно. Докажите, что площадь треугольника $A_1B_1C_1$ является корнем уравнения
$$
x^3+(S_a+S_b+S_c)x^2-4S_aS_bS_c=0.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Докажите, что ни при каком натуральном $n$ число $(1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1) \dots (n^4+n^2+1)$
не является полным квадратом.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Решите систему уравнений $\sqrt x-\frac{1}{y}=\sqrt y-\frac{1}{z}=\sqrt z-\frac{1}{x}=\frac{7}{4}$
в вещественных числах.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Для каких вещественных $c$ существует прямая, пересекающая кривую
$ y = {x^4} + 9{x^3} + c{x^2} + 9x + 4$ в четырех различных точках?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $D$, $E$, $F$ — основания высот, опущенных из точек $A$, $B$, $C$ соответственно, $H$ — точка пересечения высот. Докажите, что $ \frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=2$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. В шкатулке $n$ монет достоинством в натуральное число дукатов каждая на сумму $2n-1$ дукатов. Докажите, что любую сумму от 1 до $2n-1$ дукатов можно предоставить монетами из шкатулки.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)