Областная олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс

Задача №1. В треугольнике

$ABC$ три чевианы

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ пересекаются в точке

$P$ внутри треугольника. Обозначим через

$S_a$ ,

$S_b$ ,

$S_c$ площади треугольников

$AB_1C_1$ ,

$BC_1A_1$ ,

$CA_1B_1$ соответственно. Докажите, что площадь треугольника

$A_1B_1C_1$ является корнем уравнения

$x^3+(S_a+S_b+S_c)x^2-4S_aS_bS_c=0.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Докажите, что ни при каком натуральном

$n$ число

$(1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1) \dots (n^4+n^2+1)$ не является полным квадратом.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Решите систему уравнений

$\sqrt x-\frac{1}{y}=\sqrt y-\frac{1}{z}=\sqrt z-\frac{1}{x}=\frac{7}{4}$ в вещественных числах.
комментарий/решение(3)

Задача №4. Для каких вещественных

$c$ существует прямая, пересекающая кривую

$y = {x^4} + 9{x^3} + c{x^2} + 9x + 4$ в четырех различных точках?
комментарий/решение(3)

Задача №5. В остроугольном треугольнике

$ABC$ точки

$D$ ,

$E$ ,

$F$ — основания высот, опущенных из точек

$A$ ,

$B$ ,

$C$ соответственно,

$H$ — точка пересечения высот. Докажите, что

$\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=2$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. В шкатулке

$n$ монет достоинством в натуральное число дукатов каждая на сумму

$2n-1$ дукатов. Докажите, что любую сумму от 1 до

$2n-1$ дукатов можно предоставить монетами из шкатулки.
комментарий/решение(1)