Областная олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс

Для каких вещественных $c$ существует прямая, пересекающая кривую $y = {x^4} + 9{x^3} + c{x^2} + 9x + 4$ в четырех различных точках?

Комментарий/решение

У кривой $y=f(x)$ должно быть как минимум две точки перегиба. Лишь в этом случае найдется прямая, пересекающая данную кривую в четырех различных точках.

Найдем вторую производную:

$y''=f''(x)=(4x^3+27x^2+2cx+9)'=12x^2+54x+2c$

Приравнивая её к нулю получим уравнение:

$12x^2+54x+2c=0$

$(x_1 \ne x_2) \in \mathbb {R}$ при $D>0$

$54^2-96c > 0$

$c<30 \dfrac{3}{8}$

i_Ответ:_i для $c<30 \dfrac{3}{8}$.

Нарисуйте кривую с двумя точками перегиба, пересечение прямой получается в трех точках. Я думаю, что нужно чтобы у кривой было три точки перегиба. Но как найти это

Не путайте точки перегиба функции и точки её экстремума. В точках перегиба функция меняет направление своей выпуклости.

i_Пример:_i

h_График@https://i.imgsafe.org/3a9ca5b490.png_h функции $f(x)$ при $c=22$.

$A$ и $B$ - точки перегиба; $K, L, M$ - точки экстремума.