Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып
Қорапшада әрқайсысының номиналы дукаттың натурал саны болатын n монета бар, және осы қорапшадағы монеталардың жалпы құны 2n−1 дукат екені белгілі. Олай болса, 1 мен 2n−1 аралығындағы кез келген бүтін дукаттық соманы осы қорапшадағы монеталардың көмегімен жасауға болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Рассмотрим базовую шкатулку : одна монета достоинством n,а остальные n−1 достоинством 1 . Тогда условие выполнимо. Действительно , суммы от 1 до n−1 получим суммами единиц, сумму в n дукатов получим монетой n , суммы от n+1 до 2n−1 получим, суммируя n с единичками . Изменим базовую шкатулку. Пусть монета с достоинством n перейдет в монету n−1,а какая-то единичка станет двойкой. Ничего не изменится,условие вновь выполнимо. Меняя базовую шкатулку много ( но не бесконечно ) раз,получаем всевозможные шкатулки с суммой 2n−1, в которых выполнимо условие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.