Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып


Қорапшада әрқайсысының номиналы дукаттың натурал саны болатын n монета бар, және осы қорапшадағы монеталардың жалпы құны 2n1 дукат екені белгілі. Олай болса, 1 мен 2n1 аралығындағы кез келген бүтін дукаттық соманы осы қорапшадағы монеталардың көмегімен жасауға болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
8 года 8 месяца назад #

Рассмотрим базовую шкатулку : одна монета достоинством n,а остальные n1 достоинством 1 . Тогда условие выполнимо. Действительно , суммы от 1 до n1 получим суммами единиц, сумму в n дукатов получим монетой n , суммы от n+1 до 2n1 получим, суммируя n с единичками . Изменим базовую шкатулку. Пусть монета с достоинством n перейдет в монету n1,а какая-то единичка станет двойкой. Ничего не изменится,условие вновь выполнимо. Меняя базовую шкатулку много ( но не бесконечно ) раз,получаем всевозможные шкатулки с суммой 2n1, в которых выполнимо условие.