Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып

Қорапшада әрқайсысының номиналы дукаттың натурал саны болатын $n$ монета бар, және осы қорапшадағы монеталардың жалпы құны ${2n-1}$ дукат екені белгілі. Олай болса, $1$ мен ${2n-1}$ аралығындағы кез келген бүтін дукаттық соманы осы қорапшадағы монеталардың көмегімен жасауға болатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Рассмотрим базовую шкатулку : одна монета достоинством $n $,а остальные $n-1$ достоинством $1$ . Тогда условие выполнимо. Действительно , суммы от $1$ до $n-1$ получим суммами единиц, сумму в $n $ дукатов получим монетой $n $ , суммы от $ n+1$ до $2n-1$ получим, суммируя $n $ с единичками . Изменим базовую шкатулку. Пусть монета с достоинством $n $ перейдет в монету $n-1$,а какая-то единичка станет двойкой. Ничего не изменится,условие вновь выполнимо. Меняя базовую шкатулку много ( но не бесконечно ) раз,получаем всевозможные шкатулки с суммой $2n-1$, в которых выполнимо условие.