Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып
ABC үшбұрышының AA1,BB1,CC1 чевианалары үшбұрыштың ішкі P нүктесінде қиылысады. Sa,Sb,Sc арқылы сәйкесінше AB1C1, BC1A1, CA1B1 үшбұрыштарының аудандарын белгілейік. A1B1C1 үшбұрышы-ның ауданы x3+(Sa+Sb+Sc)x2−4SaSbSc=0 теңдеуінің түбірі болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
S - площадь △ABC, S′ - площадь △A1B1C1, a=BC,b=CA,c=AB, R - радиус описанной.
Подставим x=S′:
AB1⋅AC1⋅BC1⋅BA1⋅CA1⋅CB1sinAsinBsinC2=4SaSbSc?=S′3+(Sa+Sb+Sc)S′2=S′2S,
по теореме синусов a=2RsinA,...⇔S=abc4R=8R3sinAsinBsinC4R=2R2sinAsinBsinC, откуда:
(AB1⋅BC1⋅CA1)2?=4R2S′2⇔AB1⋅BC1⋅CA1=2R⋅S′.
Далее просто найдем S′:
S′=S⋅(1−SAB1C1S−SA1B1CS−SA1BC1S),
Обозначим AB1=q,CA1=w,BC1=e,C1A=r,B1C=t,A1B=y, тогда:
S′S=(1−rqbc−twab−yeca)=abc−rqa−twc−eybabc=(q+t)(w+y)(e+r)−qr(y+w)−tw(e+r)−ey(q+t)abc=
=qwe+qwr+qye+qyr+twe+twr+tye+tyr−qry−qrw−twe−twr−eyq−eytabc=qwe+tyrabc=2qweabc,
поэтому:
qwe?=2R⋅S⋅2qweabc⇔S?=abc4R,
что верно.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.