Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс


В треугольнике ABC три чевианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке P внутри треугольника. Обозначим через Sa, Sb, Sc площади треугольников AB1C1, BC1A1, CA1B1 соответственно. Докажите, что площадь треугольника A1B1C1 является корнем уравнения x3+(Sa+Sb+Sc)x24SaSbSc=0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
9 месяца 23 дней назад #

S - площадь ABC, S - площадь A1B1C1, a=BC,b=CA,c=AB, R - радиус описанной.

Подставим x=S:

AB1AC1BC1BA1CA1CB1sinAsinBsinC2=4SaSbSc?=S3+(Sa+Sb+Sc)S2=S2S,

по теореме синусов a=2RsinA,...S=abc4R=8R3sinAsinBsinC4R=2R2sinAsinBsinC, откуда:

(AB1BC1CA1)2?=4R2S2AB1BC1CA1=2RS.

Далее просто найдем S:

S=S(1SAB1C1SSA1B1CSSA1BC1S),

Обозначим AB1=q,CA1=w,BC1=e,C1A=r,B1C=t,A1B=y, тогда:

SS=(1rqbctwabyeca)=abcrqatwceybabc=(q+t)(w+y)(e+r)qr(y+w)tw(e+r)ey(q+t)abc=

=qwe+qwr+qye+qyr+twe+twr+tye+tyrqryqrwtwetwreyqeytabc=qwe+tyrabc=2qweabc,

поэтому:

qwe?=2RS2qweabcS?=abc4R,

что верно.