Областная олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс

В треугольнике $ABC$ три чевианы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. Обозначим через $S_a$, $S_b$, $S_c$ площади треугольников $AB_1C_1$, $BC_1A_1$, $CA_1B_1$ соответственно. Докажите, что площадь треугольника $A_1B_1C_1$ является корнем уравнения $$ x^3+(S_a+S_b+S_c)x^2-4S_aS_bS_c=0. $$

Комментарий/решение

$S$ - площадь $\triangle ABC$, $S'$ - площадь $\triangle A_1B_1C_1$, $a=BC,b=CA,c=AB$, $R$ - радиус описанной.

Подставим $x=S':$

$$\frac{AB_1\cdot AC_1\cdot BC_1\cdot BA_1\cdot CA_1\cdot CB_1\sin A\sin B\sin C}{2}=4S_aS_bS_c\stackrel{?}{=} S'^3+(S_a+S_b+S_c)S'^2=S'^2S,$$

по теореме синусов $a=2R\sin A,...\Leftrightarrow S=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{8R^3\sin A\sin B\sin C}{4R}=2R^2\sin A\sin B\sin C,$ откуда:

$$(AB_1\cdot BC_1\cdot CA_1)^2\stackrel{?}{=} 4R^2S'^2\Leftrightarrow AB_1\cdot BC_1\cdot CA_1=2R\cdot S'.$$

Далее просто найдем $S'$:

$$S'=S\cdot (1-\frac{S_{AB_1C_1}}{S}-\frac{S_{A_1B_1C}}{S}-\frac{S_{A_1BC_1}}{S}),$$

Обозначим $AB_1=q,CA_1=w,BC_1=e,C_1A=r,B_1C=t,A_1B=y$, тогда:

$$\frac{S'}{S}=(1-\frac{rq}{bc}-\frac{tw}{ab}-\frac{ye}{ca})=\frac{abc-rqa-twc-eyb}{abc}=\frac{(q+t)(w+y)(e+r)-qr(y+w)-tw(e+r)-ey(q+t)}{abc}=$$

$$=\frac{qwe+qwr+qye+qyr+twe+twr+tye+tyr-qry-qrw-twe-twr-eyq-eyt}{abc}=\frac{qwe+tyr}{abc}=\frac{2qwe}{abc},$$

поэтому:

$$qwe\stackrel{?}{=} \frac{2R\cdot S\cdot2qwe}{abc}\Leftrightarrow S\stackrel{?}{=}\frac{abc}{4R},$$

что верно.