Областная олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс
В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $D$, $E$, $F$ — основания высот, опущенных из точек $A$, $B$, $C$ соответственно, $H$ — точка пересечения высот. Докажите, что $ \frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=2$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
К примеру , выражая соотношения через теорему Ван Обеля , получим
$\dfrac{BH}{BE} = 1-\dfrac{1}{\dfrac{BD}{CD}+\dfrac{BF}{AF}+1}$
$\dfrac{AH}{AD} = 1-\dfrac{1}{\dfrac{AF}{BF}+\dfrac{AE}{CE}+1}$
$\dfrac{CH}{CF} = 1-\dfrac{1}{\dfrac{CE}{AE}+\dfrac{CD}{BD}+1}$
Причем $\dfrac{BF}{AF} \cdot \dfrac{AE}{CE} \cdot \dfrac{CD}{BD}=1$, откуда получим требуемое.
S1 - площадь BHC
S2 - площадь CHA
S3 - площадь AHB
S1+S2+S3 = S
AH/AD = (S2+S3)/S
BH/BE = (S3+S1)/S
CH/CF = (S1+S2)/S
2*(S1 + S2 + S3) / S = 2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.