Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$A B C$ сүйір бүрышты үшбүрышы берілсін және

$H$ — ортоцентр.

$A H$ түзуі

$B C$ қабырғасын және

$A B C$ үшбурышына сырттай сызылған шеңберін сәйкесінше

$A_1$ және

$A_2$ нүктелерінде қисын. Дәл солай

$B_1, B_2$ және

$C_1, C_2$ нүктелерін анықтаймыз.

$A_2 B_1$ және

$A_2 C_1$ түзулері

$A B C$ үшбурышына сырттай сызылған шеңберін сәйкесінше

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қисын.

$P\left(P \neq B_1\right)$ нүктесі

$B_1 B_2 X$ үшбурышына сырттай сыззылған шеңбермен

$A C$ қабырғасының қиылысу нүктесі және

$Q\left(Q \neq C_1\right)$ нүктесі

$C_1 C_2 Y$ үшбурышына сырттай сызылған шеңбермен

$A B$ қабырғасының қиылысу нүктесі болсын.

$P Q \parallel B C$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Ұзын тар дәлізде бірнеше жол төселген(барлық жолдар дәлізге параллель және олардың еңдері дәліздің еңіне тең). Кез келген екі жолдың қиылысатыны белгілі болса, онда осы жолдардың барлығын еденге бір шегемен шегелеуге болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(12)

Есеп №3. Кез келген оң нақты

$a, b, c, d$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\frac{1}{a+2 b+3 c+4 d}+\frac{1}{b+2 c+3 d+4 a}+\frac{1}{c+2 d+3 a+4 b}+\frac{1}{d+2 a+3 b+4 c} \leqslant \frac{1}{10 a}+\frac{1}{10 b}+\frac{1}{10 c}+\frac{1}{10 d}.$
комментарий/решение(5)

Есеп №4.

$PL \parallel BC,$

$PM \parallel CA,$

$PK \parallel AB$ болатындай

$ABC$ үшбұрышының

$BC,$

$CA,$

$AB$ қабырғаларынан сәйкесінше

$K, L, M$ нүктелері таңдалды, ал үшбұрыштың ішінен

$P$ нүктесі таңдалды.

$A M P L,$

$BKPM,$

$CLPK$ — үш трапециясы да шеңберге сырттай сызылуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Оң

$a,b,c,a_1,b_1,c_1$ сандары үшін

$2 \le \frac{x}{x_1} \le 18$

$(x=a,b,c)$ теңсіздіктері орындалады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)\le \frac{25}{9}(aa_1+bb_1+cc_1)^2.$
комментарий/решение(9)

Есеп №6.

$[a, b, c]=\frac{ab+bc+ca}{5}$ болатындай барлық натурал

$a, b, c$ табыңыз. Бұл жердегі

$[x, y]$ —

$x$ және

$y$ сандарының ең кіші ортақ еселігі.
комментарий/решение(13)