Областная олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс

Дан остроугольный треугольник $A B C, H$ — ортоцентр. Прямая $A H$ пересекает $B C$ и описанную окружность $A B C$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Аналогично определим точки $B_1, B_2$ и $C_1, C_2$. Прямые $A_2 B_1$ и $A_2 C_1$ пересекают описанную окружность $A B C$ вторично в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть $P$ точка пересечения описанной окружности треугольника $B_1 B_2 X$ с $A C$ где $\left(P \neq B_1\right)$ и $Q$ точка пересечения описанной окружности треугольника $C_1 C_2 Y$ с $A B\left(Q \neq C_1\right)$. Докажите, что $P Q \parallel B C$

Комментарий/решение

Заметим, что $\angle ABB_2$=$\angle ACB_2$=$\angle ACC_2$=$\angle ABC_2$. Значит $\triangle C_2BH$ и $\triangle B_2CH$ - равнобедренные, наравне с треугольниками $C_2QH$ и $B_2PH$. Отсюда имеем, что $C_2Q=QH$ и $PB_2=PH$. Можем обозначить $\angle HAB=a$ и $\angle QHA=b$. Тогда $\angle HQB=a+b=\angle C_2QB=\angle C_2YC_1$. Тогда $\angle C_2AB=b$, однако заметим, что $\triangle C_2AH$ - равнобедренный (ввиду того, что $C_2C_1=C_1H$ и $AC_1 \bot C_2H$. В таком случае $a=b$, а значит $AQ=HQ=C_2Q$, а значит это центр описанной около треугольника $AC_2H$ окружности. Аналогично доказательство того, что точка $P$ - центр описанной около треугольника $AHB_2$ окружности. В таком случае $A$ и $H$ - точки пересечения двух окружностей, а $AH$ - их радикальная ось, которая перпендикулярна $PQ$ - отрезку, соединяющему центры этих двух окружностей. Значит $\angle (AH, PQ)=\angle (BC, AH)$ $\Leftrightarrow$ $PQ \parallel BC$

Понятно что $PB_2=PH$,Еще

$\angle HPB_2=2*\angle CPB_2=2*\angle A_2XB_2=2*\angle HAB_2$

С этого точка P это центр описано окружности треугольника $AB_2H$ и $PA=PH$ и QA=QH. Значит PQ перпендикулярно AH , и AH перпендикулярно BC значит PQ//BC

Давайте рассмотрим три треугольника: \(ABC\), \(A_1B_1C_1\), и \(A_2B_2C_2\), где \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) — точки пересечения прямых \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) с описанной окружностью треугольника \(ABC\), а \(A_2\), \(B_2\), \(C_2\) — точки пересечения прямых \(AA_2\), \(BB_2\), \(CC_2\) с описанной окружностью треугольника \(A_1B_1C_1\).

Так как \(\angle BAC = \angle B_1A_1C_1\) и \(\angle ABC = \angle B_1C_1A_1\), то треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны.

Аналогично, из подобия треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) следует, что треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) подобны.

Таким образом, у нас есть два случая подобия треугольников:

1. \(ABC\) подобен \(A_1B_1C_1\).

2. \(A_1B_1C_1\) подобен \(A_2B_2C_2\).

Из этих случаев подобия следует, что треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) также подобны.

Теперь рассмотрим точку \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\), и точку \(O_1\) — центр описанной окружности треугольника \(A_1B_1C_1\).

Поскольку \(\angle ABC = \angle A_1B_1C_1\), то отрезок \(OO_1\) является медианой треугольника \(ABC\), проведенной из вершины \(O\).

Также, углы \(\angle BOC\) и \(\angle B_1O_1C_1\) равны, так как они соответственно центральные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Из подобия треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) следует, что отрезок \(OO_1\) также является медианой треугольника \(A_1B_1C_1\), проведенной из вершины \(O_1\).

Таким образом, точки \(O\) и \(O_1\) совпадают, и центры описанных окружностей треугольников \(ABC\), \(A_1B_1C_1\), и \(A_2B_2C_2\) совпадают.

Следовательно, три треугольника имеют общий центр описанной окружности, и их центр описанной окружности лежит на прямой \(AO_2\), где \(O_2\) — центр описанной окружности треугольника \(A_2B_2C_2\).

Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности треугольника \(ABC\) лежит на прямой \(AO_2\).