Областная олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс

Дан остроугольный треугольник $A B C, H$ — ортоцентр. Прямая $A H$ пересекает $B C$ и описанную окружность $A B C$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Аналогично определим точки $B_1, B_2$ и $C_1, C_2$. Прямые $A_2 B_1$ и $A_2 C_1$ пересекают описанную окружность $A B C$ вторично в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть $P$ точка пересечения описанной окружности треугольника $B_1 B_2 X$ с $A C$ где $\left(P \neq B_1\right)$ и $Q$ точка пересечения описанной окружности треугольника $C_1 C_2 Y$ с $A B\left(Q \neq C_1\right)$. Докажите, что $P Q \parallel B C$

Комментарий/решение

Заметим, что $\angle ABB_2$=$\angle ACB_2$=$\angle ACC_2$=$\angle ABC_2$. Значит $\triangle C_2BH$ и $\triangle B_2CH$ - равнобедренные, наравне с треугольниками $C_2QH$ и $B_2PH$. Отсюда имеем, что $C_2Q=QH$ и $PB_2=PH$. Можем обозначить $\angle HAB=a$ и $\angle QHA=b$. Тогда $\angle HQB=a+b=\angle C_2QB=\angle C_2YC_1$. Тогда $\angle C_2AB=b$, однако заметим, что $\triangle C_2AH$ - равнобедренный (ввиду того, что $C_2C_1=C_1H$ и $AC_1 \bot C_2H$. В таком случае $a=b$, а значит $AQ=HQ=C_2Q$, а значит это центр описанной около треугольника $AC_2H$ окружности. Аналогично доказательство того, что точка $P$ - центр описанной около треугольника $AHB_2$ окружности. В таком случае $A$ и $H$ - точки пересечения двух окружностей, а $AH$ - их радикальная ось, которая перпендикулярна $PQ$ - отрезку, соединяющему центры этих двух окружностей. Значит $\angle (AH, PQ)=\angle (BC, AH)$ $\Leftrightarrow$ $PQ \parallel BC$

Понятно что $PB_2=PH$,Еще

$\angle HPB_2=2*\angle CPB_2=2*\angle A_2XB_2=2*\angle HAB_2$

С этого точка P это центр описано окружности треугольника $AB_2H$ и $PA=PH$ и QA=QH. Значит PQ перпендикулярно AH , и AH перпендикулярно BC значит PQ//BC

Давайте рассмотрим три треугольника: $ABC$, $A_1B_1C_1$, и $A_2B_2C_2$, где $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки пересечения прямых $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ с описанной окружностью треугольника $ABC$, а $A_2$, $B_2$, $C_2$ — точки пересечения прямых $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ с описанной окружностью треугольника $A_1B_1C_1$.

Так как $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ и $\angle ABC = \angle B_1C_1A_1$, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

Аналогично, из подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следует, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.

Таким образом, у нас есть два случая подобия треугольников:

1. $ABC$ подобен $A_1B_1C_1$.

2. $A_1B_1C_1$ подобен $A_2B_2C_2$.

Из этих случаев подобия следует, что треугольники $ABC$ и $A_2B_2C_2$ также подобны.

Теперь рассмотрим точку $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, и точку $O_1$ — центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$.

Поскольку $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$, то отрезок $OO_1$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $O$.

Также, углы $\angle BOC$ и $\angle B_1O_1C_1$ равны, так как они соответственно центральные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Из подобия треугольников $ABC$ и $A_2B_2C_2$ следует, что отрезок $OO_1$ также является медианой треугольника $A_1B_1C_1$, проведенной из вершины $O_1$.

Таким образом, точки $O$ и $O_1$ совпадают, и центры описанных окружностей треугольников $ABC$, $A_1B_1C_1$, и $A_2B_2C_2$ совпадают.

Следовательно, три треугольника имеют общий центр описанной окружности, и их центр описанной окружности лежит на прямой $AO_2$, где $O_2$ — центр описанной окружности треугольника $A_2B_2C_2$.

Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на прямой $AO_2$.