Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 9 сынып
Комментарий/решение:
Заметим, что ∠ABB2=∠ACB2=∠ACC2=∠ABC2. Значит △C2BH и △B2CH - равнобедренные, наравне с треугольниками C2QH и B2PH. Отсюда имеем, что C2Q=QH и PB2=PH. Можем обозначить ∠HAB=a и ∠QHA=b. Тогда ∠HQB=a+b=∠C2QB=∠C2YC1. Тогда ∠C2AB=b, однако заметим, что △C2AH - равнобедренный (ввиду того, что C2C1=C1H и AC1⊥C2H. В таком случае a=b, а значит AQ=HQ=C2Q, а значит это центр описанной около треугольника AC2H окружности. Аналогично доказательство того, что точка P - центр описанной около треугольника AHB2 окружности. В таком случае A и H - точки пересечения двух окружностей, а AH - их радикальная ось, которая перпендикулярна PQ - отрезку, соединяющему центры этих двух окружностей. Значит ∠(AH,PQ)=∠(BC,AH) ⇔ PQ∥BC
Понятно что PB2=PH,Еще
∠HPB2=2∗∠CPB2=2∗∠A2XB2=2∗∠HAB2
С этого точка P это центр описано окружности треугольника AB2H и PA=PH и QA=QH. Значит PQ перпендикулярно AH , и AH перпендикулярно BC значит PQ//BC
Давайте рассмотрим три треугольника: ABC, A1B1C1, и A2B2C2, где A1, B1, C1 — точки пересечения прямых AA1, BB1, CC1 с описанной окружностью треугольника ABC, а A2, B2, C2 — точки пересечения прямых AA2, BB2, CC2 с описанной окружностью треугольника A1B1C1.
Так как ∠BAC=∠B1A1C1 и ∠ABC=∠B1C1A1, то треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Аналогично, из подобия треугольников ABC и A1B1C1 следует, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.
Таким образом, у нас есть два случая подобия треугольников:
1. ABC подобен A1B1C1.
2. A1B1C1 подобен A2B2C2.
Из этих случаев подобия следует, что треугольники ABC и A2B2C2 также подобны.
Теперь рассмотрим точку O — центр описанной окружности треугольника ABC, и точку O1 — центр описанной окружности треугольника A1B1C1.
Поскольку ∠ABC=∠A1B1C1, то отрезок OO1 является медианой треугольника ABC, проведенной из вершины O.
Также, углы ∠BOC и ∠B1O1C1 равны, так как они соответственно центральные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Из подобия треугольников ABC и A2B2C2 следует, что отрезок OO1 также является медианой треугольника A1B1C1, проведенной из вершины O1.
Таким образом, точки O и O1 совпадают, и центры описанных окружностей треугольников ABC, A1B1C1, и A2B2C2 совпадают.
Следовательно, три треугольника имеют общий центр описанной окружности, и их центр описанной окружности лежит на прямой AO2, где O2 — центр описанной окружности треугольника A2B2C2.
Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой AO2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.