Областная олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Дан остроугольный треугольник

$A B C, H$ — ортоцентр. Прямая

$A H$ пересекает

$B C$ и описанную окружность

$A B C$ в точках

$A_1$ и

$A_2$ соответственно. Аналогично определим точки

$B_1, B_2$ и

$C_1, C_2$ . Прямые

$A_2 B_1$ и

$A_2 C_1$ пересекают описанную окружность

$A B C$ вторично в точках

$X$ и

$Y$ соответственно. Пусть

$P$ точка пересечения описанной окружности треугольника

$B_1 B_2 X$ с

$A C$ где

$\left(P \neq B_1\right)$ и

$Q$ точка пересечения описанной окружности треугольника

$C_1 C_2 Y$ с

$A B\left(Q \neq C_1\right)$ . Докажите, что

$P Q \parallel B C$
комментарий/решение(3)

Задача №2. В длинном узком коридоре постелено несколько дорожек(все дорожки параллельны коридору и можно считать, что ширина каждой дорожки равна ширине коридора). Докажите, что можно одним гвоздём прибить все эти дорожки к полу, если известно, что любые две дорожки пересекаются.
комментарий/решение(12)

Задача №3. Докажите, что для любых положительных

$a, b, c, d$ справедливо неравенство

$\frac{1}{a+2 b+3 c+4 d}+\frac{1}{b+2 c+3 d+4 a}+\frac{1}{c+2 d+3 a+4 b}+\frac{1}{d+2 a+3 b+4 c} \leqslant \frac{1}{10 a}+\frac{1}{10 b}+\frac{1}{10 c}+\frac{1}{10 d}.$
комментарий/решение(5)

Задача №4. На сторонах

$BC,$

$CA,$

$AB$ треугольника

$ABC$ выбраны соответственно точки

$K,L,M$ , а внутри треугольника выбрана точка

$P$ так, что

$PL \parallel BC,$

$PM \parallel CA,$

$PK \parallel AB$ . Может ли оказаться, что все три трапеции

$AMPL,$

$BKPM$ ,

$CLPK$ — описанные?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Для положительных чисел

$a,b,c,a_1,b_1,c_1$ таких, что

$2 \le \frac{x}{x_1} \le 18$

$(x=a,b,c)$ , докажите неравенство

$(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)\le \frac{25}{9}(aa_1+bb_1+cc_1)^2.$
комментарий/решение(9)

Задача №6. Найти все натуральные

$a, b, c$ такие, что

$[a, b, c]=\frac{a b+b c+c a}{5}.$ Здесь

$[x, y]$ — наименьшее общее кратное чисел

$x$ и

$y$ .
комментарий/решение(13)