Областная олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс

На сторонах $BC,$ $CA,$ $AB$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $K,L,M$, а внутри треугольника выбрана точка $P$ так, что $PL \parallel BC,$ $PM \parallel CA,$ $PK \parallel AB$. Может ли оказаться, что все три трапеции $AMPL,$ $BKPM$, $CLPK$ — описанные?

Комментарий/решение

Предположим, что все эти три трапеции описанные. Обозначим точки пересечения $PL$ с $BC$, $PK$ c $AC$, $PM$ c $BC$, как точки $D, E, F$ соответственно. Ввиду того, что четырехугольники $FPLC, BDPK, AMPE$ - параллелограммы, выполняется ряд равенств сторон: $AE = MP, AM = EP, BK = DP, BD = PK, PL = FC, PF = LC$. Ежели все наши три трапеции $AMPL, BKMP, CLPK$ по нашему предположению - описанные, в таком случае сумма противолежащих сторон трапеций равна, а именно: $AE+EL+MP = AM+PL ; BD+DM+PK=BK+PM ; KF+FC+PL = PK+LC$.

Суммируем все три равенства и сократим равные значения сторон. В итоге получим, что $(DM+MP)+(EL+PL)+(PK+KF)=PM+EP+PF$. Однако заметим, что из неравенств треугольников $DMP, PEL, PKF$ мы получаем противоречивое неравенство: $(DM+MP)+(EL+PL)+(PK+KF)>PM+EP+PF$. Собственно отсюда мы можем утверждать, что эти три трапеции не могут быть описанными