Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 9 сынып
Комментарий/решение:
Предположим, что все эти три трапеции описанные. Обозначим точки пересечения PL с BC, PK c AC, PM c BC, как точки D,E,F соответственно. Ввиду того, что четырехугольники FPLC,BDPK,AMPE - параллелограммы, выполняется ряд равенств сторон: AE=MP,AM=EP,BK=DP,BD=PK,PL=FC,PF=LC. Ежели все наши три трапеции AMPL,BKMP,CLPK по нашему предположению - описанные, в таком случае сумма противолежащих сторон трапеций равна, а именно: AE+EL+MP=AM+PL;BD+DM+PK=BK+PM;KF+FC+PL=PK+LC.
Суммируем все три равенства и сократим равные значения сторон. В итоге получим, что (DM+MP)+(EL+PL)+(PK+KF)=PM+EP+PF. Однако заметим, что из неравенств треугольников DMP,PEL,PKF мы получаем противоречивое неравенство: (DM+MP)+(EL+PL)+(PK+KF)>PM+EP+PF. Собственно отсюда мы можем утверждать, что эти три трапеции не могут быть описанными
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.