Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 9 сынып


PLBC, PMCA, PKAB болатындай ABC үшбұрышының BC, CA, AB қабырғаларынан сәйкесінше K,L,M нүктелері таңдалды, ал үшбұрыштың ішінен P нүктесі таңдалды. AMPL, BKPM, CLPK — үш трапециясы да шеңберге сырттай сызылуы мүмкін бе?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2 года 1 месяца назад #

Предположим, что все эти три трапеции описанные. Обозначим точки пересечения PL с BC, PK c AC, PM c BC, как точки D,E,F соответственно. Ввиду того, что четырехугольники FPLC,BDPK,AMPE - параллелограммы, выполняется ряд равенств сторон: AE=MP,AM=EP,BK=DP,BD=PK,PL=FC,PF=LC. Ежели все наши три трапеции AMPL,BKMP,CLPK по нашему предположению - описанные, в таком случае сумма противолежащих сторон трапеций равна, а именно: AE+EL+MP=AM+PL;BD+DM+PK=BK+PM;KF+FC+PL=PK+LC.

Суммируем все три равенства и сократим равные значения сторон. В итоге получим, что (DM+MP)+(EL+PL)+(PK+KF)=PM+EP+PF. Однако заметим, что из неравенств треугольников DMP,PEL,PKF мы получаем противоречивое неравенство: (DM+MP)+(EL+PL)+(PK+KF)>PM+EP+PF. Собственно отсюда мы можем утверждать, что эти три трапеции не могут быть описанными