Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 9 сынып

$[a, b, c]=\frac{ab+bc+ca}{5}$ болатындай барлық натурал $a, b, c$ табыңыз. Бұл жердегі $[x, y]$ — $x$ және $y$ сандарының ең кіші ортақ еселігі.

Комментарий/решение

Это баян + в условии не $4$ а $5$.

Прошлогодняя область хоть и была с несколькими баянными задачами, но в целом прошла очень даже успешно в плане задач. К сожалению, такого же вряд ли можно сказать про нынешний год, если не по задачам то по организации точно. Да, можно все простить, например то что вначале в 1 туре из за сбоев пришлось ждать час, я думаю это нормально, да и во втором туре 9 классники вспомнят как через 15 минут после начала пришлось положить ручки и пойти прогуляться..

Казалось бы, кто уже давно закончил карьеру олимпиадника спросили бы, с чего бы так? Нуу.. произошло маленькое недоразумение и у всех участников 9 классников в файле задачами так же были и дополнительные 18 страниц с общими положениями про олимпиаду и тд, но пролистав до конца, можно было увидеть решение задач! (вот так пасхалочка).

Ладно, я совсем не осуждаю организаторов, я разделяю их мороки и стресс, ибо организовать олимпиаду для стольких школьников это реальная запара, но больше меня удивило вот что: Кажись, во время 15 минутного перерыва авторам пришлось быстро заменить задачи, что им получилось сделать довольно оперативно, но! Мне не дает покоя только одна вещь: Зачем надо было брать 2 задачи из 3 из олимпиады которая прошла в АЛМАТЕ в 2023 ГОДУ? Так еще и третья задача была сама взята из Респы Японии..

Это все говорит опять же о двух вещах:

1) Об острой нехватке задач, можно заметить что хоть задач было не так уж и мало, большинство задач были если не сквозными то полусквозными, то есть имели почти одинаковую формулировку с некоторыми корректировками в цели сделать задачу сложнее.

2) О сложности проведения олимпиад в таком формате. Да, бесспорно, наверное это один из самых эффективных методов проведения олимпиад где все будет максимально прозрачно, но хотелось бы что бы сервера не лагали, да и таких казусов было поменьше, но все же, спасибо!

$P.S.$ верните 4.5 часовой режим.

Олимпиада города Алматы это вроде отбор на Международную Жаутыковскую олимпиаду?

Кстати, первую задачу сбаянили с 4 Кавказской математической олимпиады.

Да, Жаута

можете сделать еще мем про геому с второго тура 9 класс она была на олимпиаде города Алматы область и 4 кавказская

Хотелось бы добавить , что они дали $9$ классникам $2$ нерешаемых задач в $1$ туре . Изначально в комбе не было сказано что там дороги параллельны коридору , из за чего невозможно было решить задачу , а в $3$ задаче сначала стояла знак $"≥"$ $($ну и не было сказано что $d$—положительное число, но это не совсем критично, можно было догадаться что это наверняка просто опечатка$)$

Позже сменили на $"≤"$ . Самое абсурдное в том что ошибку исправили через $2.5$ часа и не добавили времени , и те которые решали геому в $1$ туре получили огромную фору

Ооо, только заметил этот великолепный комментарий. Не смотря, что я уже долгое время не активен в matol, мой путь продолжили)

Заметим что так как $5[a,b,c] = ab+bc+ac \vdots a,b,c$, то $bc:a, ab:c, ac:b$, Б.О.О. $a \ge b \ge c$, тогда $bc : [a,b,c] \Rightarrow bc \ge [a,b,c] = \frac{ab+bc+ac}{5} \ge \frac{3bc}{5}, [a,b,c]$ принимает значения из ${bc, \frac{bc}{2}, \frac{bc}{3}, ...}$, т.к. $bc : [a,b,c]$, значит $[a,b,c]=bc, \Rightarrow 4bc = a(b+c)$, заметим что т.к. $[a,b,c] =bc$, то $(b,c) = 1$, так как $a \mid bc$ то либо b либо c делится на a, если $c \mid a$, то $a=b=c$ противоречие, значит $a \mid b, a=b$, но так как $(b,c)=1, (3c,c)=1$, откуда $c=1$, дальше вытекают $a=b=3$. Тоесть всевозможные ответы: $(3,3,1), (3,1,3), (1,3,3)$

Ещё есть 1 ответ: (4, 2, 2). То может возникнуть вопрос: а где Алимжан ошибся?

Он допускает ошибку, когда из уравнения $4bc=a(b+c)$ выводит, что $a|bc$ (правильно только $a|4bc$). Как говорил Сталин: "Критикуешь - предлагай, предлагаешь - делай". Значит я должен дополнить решение.

Из уравнения $4bc=a(b+c)$, выходит что $(b+c)|4bc$. А так как $(b, c)=1$, то $(b+c)|4$. Теперь достаточно разобрать 2 случая: $b+c=2$ и $b+c=4$. В первом случае $b=c=1$ решений нет. А во втором случае есть 2 варианта: $b=c=2$ и $b=3$, $c=1$. Из этих два варианта выходит два ответа задачи.

Ответ: $(3, 3, 1)$, $(4, 2, 2)$

Upd: Хочу отметить, что если не считать его ошибку, Алимжан довольно красиво решил задачу рассмотрев через неравенство. Я когда решал, у меня вышло очень душно и долго. Я сидел и выражал $a, b, c$ через их НОД.

Спасибо, не заметил)

very cute

Если $[a,b,c]=bc$ =>>$(b,c)=1$ не всегда верно ($a=8,b=4,c=2$)

Б.О.О $a \geq b \geq c$

Рассмотрев (мод $a$) можно понять что $a|bc$

Возьмем простой делитель числа $a$ как $p$. Тогда $V_p(bc) \geq MAX(V_p(a);V_p(b);V_p(c))=V_p([a,b,c])$ отсюда $[a,b,c]|bc$ =>> $\frac{bc}{k}=[a,b,c]=\frac{ab+bc+ca}{5} \geq \frac{3bc}{5} =>> k=1 =>> bc=[a,b,c]$

Заменим и выйдет что $4bc=a(b+c)$ понятно что $4|b+c =>> \frac{b+c}{4}*a=bc$. Возьму также простой делитель числа $\frac{b+c}{4}$ как $q$. Тогда $q|bc$ и заметим что $a|\frac{bc}{q}$.Также $V_q(\frac{bc}{q})=V_q(bc)-V_q(q) \geq V_q(b)$ отсюда $a,b,c|\frac{bc}{q}<bc=[a,b,c]$ что не возможно. Значит $b+c=4$ дальше легко.