Областная олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Для тех , кто не знает что такое теорема Хелли, и кому лень гуглить:
Общая теорема Хелли. Если в пространстве n измерений (n=1,2,3) дано некоторое число ограниченных выпуклых фигур, каждые n+1 из которых имеют общую точку, то все эти фигуры имеют общую точку.
Давайте переформулируем задачу то есть соединим параллельные в одно тогда у нас самый левый конец и правое начало и есть наши гвозди так как каждый отрезок должен лежать за ними
То есть нам надо доказать что у всех дорожек будет общая часть
База индукции : 2 Очевидно подходит
Пусть n будет кол-во дорожек . Доказываем что будет работать для n+1 дорожек .
Представим горизонтальный коридор
Так как n≥2 , то можем представить пересечение n дорожек как некий "прямоугольник".
Так как это пересечение дорожек , очевидно что как минимум у 1 дорожки будет совпадать правая граница с "прямоугольником" . Назовем его K дорожка . Аналогично с левой границей . Назовем его L дорожка .
Теперь посмотрим на n+1 дорожку
Могут быть 3 варианта .
1)Он в "прямоугольнике"
2)Он слева от "прямоугольника
3)Он справа он "прямоугольника"
1 Случай , очевидно задача решена
2 Случай , чтобы n+1 имел пересечение с L дорожкой , n+1 дорожка в любом случай будет переступать границу L, соответственно и пересекает границу "прямоугольника" . Значит очевидно что будет общая часть всех дорожек , что нам и требовалось доказать.
3 Случай , аналогично с 2 случаем , но вместо L будет K
Так как по условию задачи ширина ковра равна ширине коридора, что можно считать наши ковры отрезками, то рассмотрим отрезок с самым левым правым концом L1 = [a,b] и самым правым левым концом L2 = [c,d]. То что они пересекаются означает, в частности, что b≥ с. Но тогда любой отрезок имеет правый конец не левее b и левый конец не правее с то есть содержит все точки из отрезка [с,b] (возможно, вырожденного в точку, но не пустого).
Предположим, что у нас есть n путей в коридоре. Мы докажем, что все эти дорожки можно прибить к полу одним гвоздем.
Во-первых, мы выбираем любые два пути, скажем, путь A и путь B. Поскольку мы знаем, что эти два пути пересекаются, должна быть точка, в которой они пересекаются. Назовем эту точку O.
Теперь мы размещаем гвоздь в точке O и прибиваем пути A и B к полу.
Затем мы идем по другому пути, скажем, по пути C, и мы знаем, что он пересекается с путями A и B. Поскольку пути A и B уже прибиты гвоздями, путь C может пересечься только в точке O. Поэтому мы также может закрепить путь C в точке O.
Мы можем повторить этот процесс для всех n путей, закрепив их в точке O, которая является точкой пересечения любых двух путей.
Таким образом, мы доказали, что можно прибить все n дорожек к полу одним гвоздем, если любые две дорожки пересекаются.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.