19-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2023 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. У Пети есть

$1001$ карточка, на которых написаны синей ручкой числа

$1,2,\dots,1001$ ; на каждой карточке написано ровно одно число. Петя выложил карточки по кругу синими числами вниз. Затем для каждой карточки

$C$ Петя рассмотрел

$500$ карточек, следующих за

$C$ по часовой стрелке, и нашёл количество

$f(C)$ тех из них, на которых синие числа больше, чем синее число на

$C$ . Число

$f(C)$ Петя написал на верхней стороне карточки

$C$ красной ручкой. Докажите, что Вася, видя только все красные числа, может восстановить, какое синее число на какой карточке написано. ( И. Богданов )
комментарий/решение(4)

Задача №2. Касательная в точке

$C$ к окружности

$\Omega$ , описанной около неравнобедренного треугольника

$ABC$ , пересекает прямую

$AB$ в точке

$D$ . Через точку

$D$ проведена прямая, пересекающая отрезки

$AC$ и

$BC$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. На отрезке

$AB$ отметили точки

$M$ и

$N$ так, что

${AC \parallel NL}$ и

${BC \parallel KM}$ . Пусть

$NL$ и

$KM$ пересеклись в точке

$P$ , лежащей внутри треугольника

$ABC$ . Прямая

$CP$ во второй раз пересекает окружность

$\omega$ , описанную около треугольника

$MNP$ , в точке

$Q$ . Докажите, что прямая

$DQ$ касается

$\omega$ . ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(4)

Задача №3. Даны натуральные числа

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_k$ . Обозначим через

$S(n)$ количество решений уравнения

$a_1x_1+\dots+a_kx_k=n$ в целых неотрицательных числах

$x_1$ ,

$x_2$ ,

$\ldots$ ,

$x_k$ . Известно, что

$S(n)\ne 0$ для всех достаточно больших

$n$ . Докажите, что

$S(n+1)<2S(n)$ для всех достаточно больших

$n$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(4)

Задача №4. Сумма

$n>2$ ненулевых вещественных чисел (не обязательно различных) равна нулю. Для каждого из

$2^n-1$ способов выбрать несколько (не менее одного) из этих чисел подсчитали сумму выбранных чисел и все полученные

$2^n-1$ сумм выписали в строку в невозрастающем порядке. Первое число в строке равно

$S$ . Найдите наименьшее возможное значение второго числа в строке. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Задача №5. Назовём натуральное число хорошим, если оно представляется в виде

$ax^2+bxy+cy^2$ , где

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$x$ ,

$y$ -- целые числа и

$b^2-4ac=-20$ . Докажите, что произведение двух хороших чисел — тоже хорошее число. ( А. Голованов )
комментарий/решение(7)

Задача №6. На плоскость положили несколько синих и зелёных прямоугольных салфеток (возможно, разного размера) с вертикальными и горизонтальными сторонами. Оказалось, что любые две салфетки разного цвета можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой (возможно, по границе). Докажите, что можно выбрать цвет, две горизонтальных прямых и одну вертикальную прямую так, что каждую салфетку выбранного цвета пересекает хотя бы одна из выбранных прямых. ( Г. Челноков )
комментарий/решение(3)

результаты