қазақша
русский19-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2023 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Петя көк қаламмен $1,2,\dots,1001$ сандарын $1001$ картаға жазып шықты (әрбір картада дәл бір сан жазылған). Сосын ол карталарды көк сандарымен төмен қаратып, шеңбер бойына қандай да бір ретпен қойып шықты. Кейін ол әрбір $C$ картасы үшін, $C$-дан кейін сағат тілі бағытымен орналасқан 500 карталарды қарастырып, сол 500 карталардағы көк сандардың қаншасы $C$ картасында жазылған көк саннан артық екенін санап, сол санды $f(C)$ деп белгіледі. Петя қызыл қаламмен әр $C$ картасының жоғарғы жағына $f(C)$ санын жазды. Вася барлық қызыл сандарды көріп, қай картада қай көк сан жазылғанын қалпына келтіре алатынын дәлелдеңіз.
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\Omega$ шеңберге $C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $D$ арқылы өтететін түзу $AC$ және $BC$ қабырғаларын, сәйкесінше, $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $AB$ қабырғасынан $AC \parallel NL$, $BC \parallel KM$ болатындай $M$ және $N$ нүктелері белгіленген. $NL$ және $KM$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады ($P$ $\triangle ABC$-ның ішінде жатыр). $CP$ түзуі $MNP$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберін екінші рет $Q$ нүктесінде қияды. $DQ$ түзуі $\omega$-ны жанайтынын дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин,
И. Богданов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ натурал сандары берілген. $a_1x_1+\dots+a_kx_k=n$ теңдеуінің теріс емес бүтін сандар жиынындағы шешімдер санын $S(n)$ деп белгілейік. Барлық жеткілікті үлкен $n$ сандары үшін ${S(n)\ne 0}$ екені белгілі. Барлық жеткілікті үлкен $n$ сандары үшін $S(n+1)<2S(n)$ екенін дәлелде.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №4. Нөлге тең емес нақты $n$ санның қосындысы нөлге тең ($n>2$ және сандар әртүрлі болуы міндетті емес). Осы сандардың бірнешеуін (кем дегенде біреуін) таңдаудың $2^n-1$ әдісі бар. Әр әдістегі таңдалған сандардың қосындысын есептеп, барлық ${2^n-1}$ қосындыны бір қатарға өспейтін ретпен жазып шыққан. Осы қатарда бірінші сан $S$-ке тең. Осы қатардағы екінші санның ең кіші мүмкін мәні нешеге тең?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Егер натурал санды $ax^2+bxy+cy^2$ түрінде келтіруге болса, бұл жерде $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ — бүтін сандар және $b^2-4ac=-20$, сол санды жақсы сан деп айтамыз. Екі жақсы санның көбейтіндісі де жақсы сан болатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Есеп №6. Түсі жасыл немесе көк болатын, тіктөртбұрыш пішінді бірнеше майлық бар (олардың өлшемдері әртүрлі болуы мүмкін). Олардың әрбірін қабырғалары көлденең және тігінен келетіндей жазықтыққа қойып шыққан. Түрлі түсті кез келген екі майлықты тік немесе көлденең сызықпен (мүмкін, шекара бойымен) қиып өтуге болатыны белгілі. Келесі шартты қанағаттандыратын бір түс таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз: екі көлденең және бір тік түзуді таңдауға болады және таңдап алған түстің барлық майлықтарын осы таңдаған үш түзудің кемінде біреуі қияды.
(
Г. Челноков
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)