Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. Шеңбер бойымен

$1,2,\ldots ,9$ сандары белгісіз ретпен жазылған. Қосындысы 16-дан кем емес қатар тұрған үш сан табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Егер

$x\ge y\ge z > 0$ болса, теңсіздікті дәлелдеңдер:

$\left( x-y+z \right)\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right)\ge 1$ .
комментарий/решение(8)

Есеп №3.

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc$ түрінде жазуға болатын барлық бүтін сандарды табыңдар, мұндағы

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — натурал сандар.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. а)

$n$ ,

${n+1}$ ,

${n+2}$ сандарының әрқайсысы екі бүтін санның квадратта-рының қосындысы болатындай ақырсыз көп

$n$ натурал саны табылатынын дәлелдеңдер.
б) Егер үш санның орынына төрт

${n-1}$ ,

$n$ ,

${n+1}$ ,

${n+2}$ сандарын алсақ, тұжырымымыз ақиқат болып қала бере ме?
комментарий/решение(2)

Есеп №5. 12 элементтен тұратын жиынды әрқайсысы 2 элементтен тұратын 6 жиынға қанша әдіспен бөлуге болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының ішінен

$\angle PAC=\angle PBC$ болатындай етіп

$P$ нүктесі алынған.

$P$ нүктесінен

$BC$ және

$AC$ қабырғаларына түсірілген перпендикулярлардың табандарын сәйкесінше

$L$ және

$N$ деп белгілейік, ал

$D$ нүктесі

$AB$ қабырғасының ортасы болсын.

$DL=DN$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(4)