Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс


Внутри остроугольного треугольника ABC взята точка P так, что PAC=PBC. Пусть L и N — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны BC и AC, соответственно, D — середина AB. Докажите, что DL=DN.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   4
9 года 2 месяца назад #

Положим что это верно,DL=DN, CAP=CBP=a , PAB=y,  PBA=x .

Из теоремы косинусов , получим соотношение

(APcosa)2(BPcosa)2=2(APcosa)ADcos(a+y)2(BPcosa)ADcos(a+x)

((BPsinxsiny)cosa)2(BPcosa)2=2BPAD(sinxsinycosacos(a+y)cosacos(a+x))

После преобразований , получим

BP(sinxsinycosa)2(cosa)2)=2ADcos2asin(xy)siny

BP(sin2(x)sin2y)=2ADsinysin(xy)

sin(x+y)siny=2ADBP=ABBP

что верно , это из теореме синусов .

Значит DL=DN

  4
6 года 2 месяца назад #

DL,DN медианы треугольников ANB,ALB учитывая это и используя формулу медиан mc=2a2+2b2c22 получаем что надо доказать AN2+BN2=AL2+BL2(1) из условия следует что APL=BPN=x применяя теорему косинусов (1) можно записать как BL2+AP2+PL22APPLcosx=AN2+PN2+PB22PNPBcosx по теореме Пифагора AN2+PN2=AP2,BL2+PL2=BP2 подставляя APPL=PNPB которое следует из подобия треугольников APN,BPL.

  3
2 года 11 месяца назад #

продолжим LD за D до точки R такой, что DL=DR. Тогда LARB -параллелограмм, т.к.DL=LR,AD=DBAR=LB,NPL=CAR=180ACB (т.к. ARBC,CNPL-вписанный, соответственно). (1) PLBPNA,т.к.PNA=PLB=90,PAC=PBCAN/BL=PN/PLAN/PN=BL/PL=AR/BL.(2). Из (1) и (2) следует, что NARNPLLNP=ANRLNR=90ND - медиана прямоугольного треугольника ND=DL, ч.т.д..

  6
1 года 4 месяца назад #

Пусть K,N середины PA,PB.AK=PK=KN,PM=BM=ML.DM,DK средние линии ABP.DM=AK,DK=BM.BDM=ADK.BMD=AKD.BML=AKN.DKN=DML.DML=DKN.DL=DN.