Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Положим что это верно,DL=DN, ∠CAP=∠CBP=a , ∠PAB=y, ∠PBA=x .
Из теоремы косинусов , получим соотношение
(AP⋅cosa)2−(BP⋅cosa)2=2⋅(AP⋅cosa)⋅AD∗cos(a+y)−2⋅(BP⋅cosa)⋅AD⋅cos(a+x)
((BP⋅sinxsiny)⋅cosa)2−(BP⋅cosa)2=2⋅BP⋅AD⋅(sinxsiny⋅cosa⋅cos(a+y)−cosa⋅cos(a+x))
После преобразований , получим
BP⋅(sinxsiny⋅cosa)2−(cosa)2)=2⋅AD⋅cos2a⋅sin(x−y)siny
BP⋅(sin2(x)−sin2y)=2⋅AD⋅siny⋅sin(x−y)
sin(x+y)siny=2ADBP=ABBP
что верно , это из теореме синусов .
Значит DL=DN
DL,DN медианы треугольников ANB,ALB учитывая это и используя формулу медиан mc=√2a2+2b2−c22 получаем что надо доказать AN2+BN2=AL2+BL2(1) из условия следует что ∠APL=∠BPN=x применяя теорему косинусов (1) можно записать как BL2+AP2+PL2−2AP⋅PL⋅cosx=AN2+PN2+PB2−2⋅PN⋅PB⋅cosx по теореме Пифагора AN2+PN2=AP2,BL2+PL2=BP2 подставляя AP⋅PL=PN⋅PB которое следует из подобия треугольников APN,BPL.
продолжим LD за D до точки R такой, что DL=DR. Тогда LARB -параллелограмм, т.к.DL=LR,AD=DB⇒AR=LB,∠NPL=∠CAR=180−∠ACB (т.к. AR∥BC,CNPL-вписанный, соответственно). (1) △PLB∼△PNA,т.к.∠PNA=∠PLB=90∘,∠PAC=∠PBC⇒AN/BL=PN/PL⇒AN/PN=BL/PL=AR/BL.(2). Из (1) и (2) следует, что △NAR∼△NPL⇒∠LNP=∠ANR⇒∠LNR=90∘⇒ND - медиана прямоугольного треугольника ⇒ND=DL, ч.т.д..
Пусть K,N середины PA,PB.AK=PK=KN,PM=BM=ML.DM,DK средние линии △ABP.DM=AK,DK=BM.△BDM=△ADK.∠BMD=∠AKD.∠BML=∠AKN.∠DKN=∠DML.△DML=△DKN.DL=DN.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.