Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Числа

$1, 2, \dots , 9$ расставили по кругу в каком-то порядке. Докажите, что найдутся три подряд стоящих числа с суммой не менее 16.
комментарий/решение(4)

Задача №2. Пусть

$x \geq y \geq z>0$ . Докажите, что

$(x-y+z) \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 1.$
комментарий/решение(8)

Задача №3. Найдите все целые числа, представимые в виде

$a^3+b^3+c^3-3abc$ , где

$a,b,c$ — натуральные числа.
комментарий/решение(2)

Задача №4. a) Докажите, что существует бесконечно много натуральных

$n$ , таких, что каждое их числе

$n$ ,

$n+1$ ,

$n+2$ представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел.
б) Останется ли верным утверждение, если вместо 3 чисел рассматривать четыре числа

$n-1$ ,

$n$ ,

$n+1$ ,

$n+2$ ?

комментарий/решение(2)

Задача №5. Сколькими способами множество, содержащее 12 элементов, можно разбить на 6 множеств, каждое из которых содержит по 2 элемента?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Внутри остроугольного треугольника

$ABC$ взята точка

$P$ так, что

$\angle PAC=\angle PBC$ . Пусть

$L$ и

$N$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки

$P$ на стороны

$BC$ и

$AC$ , соответственно,

$D$ — середина

$AB$ . Докажите, что

$DL=DN$ .
комментарий/решение(4)