Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс

Пусть $x \geq y \geq z>0$. Докажите, что $ (x-y+z) \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 1.$

Комментарий/решение

$(x-y+z)(yz-xz+xy) \geq xyz\\ -x^2z+x^2y-y^2z+xyz-xy^2+yz^2-xz^2+xyz \geq 0\\ (x-y)(x+z)(y-z) \geq 0$

Из условия вытекает что

$x-y \geq 0\\ y-z \geq 0$

откуда $(x-y)(x+z)(y-z) \geq 0$

$\frac {1}{z}\leq\frac {1}{y}\leq\frac {1}{x}>0$

1) $(\frac {1}{y}-\frac {1}{x})*(y-z)\geq0$

Упростим получим:

$1+\frac {z}{x}\geq\frac {y}{x}+\frac {z}{y}$

2) $(\frac {1}{z}-\frac {1}{y})*(x-y)\geq0$

Упростим неравенство, получим:

$1+\frac {x}{z}\geq\frac {x}{y}+\frac {y}{z}$

Сложим 1 и 2 получим неравенство.

Решение в лоб.

Пусть, x=y+k=z+m+k; y=z+m, тогда

(!)(k+z)(z^2+2mz+m^2+km/z^3+2mz^2 +zm^2+kz^2+kmz) >= 1

Просто умножим, тогда

kz^2+z^3+3kmz+2mz^2+km^2+zm^2+mk^2 >= z^3+2mz^2+zm^2+kz^2+kmz

Сокращаем и получим

2kmz+km^2+mk^2 >= 1

Если x>y>z, то это верно, если это не так, то либо x=y, либо y=z, либо x=y=z.

Очевидно, во всех трех случаях выражение равно единице, ЧТД.

Ваше решение в $\LaTeX$:

Решение в лоб.

Пусть, $x=y+k=z+m+k; y=z+m$, тогда

$ (!)(k+z)(z^2+2mz+m^2+\frac{km}{z^3}+2mz^2 +zm^2+kz^2+kmz) \geq 1$

Просто умножим, тогда

$kz^2+z^3+3kmz+2mz^2+km^2+zm^2+mk^2 \geq z^3+2mz^2+zm^2+kz^2+kmz$

Сокращаем и получим

$ 2kmz+km^2+mk^2 \geq 0$

Если $x>y>z,$ то это верно, если это не так, то либо $x=y,$ либо $y=z,$ либо $x=y=z.$

Очевидно, во всех трех случаях выражение равно единице, ЧТД.

Писать на нём можно научиться здесь.

кстати у вас там опечатка, $2kmz+km^2+mk^2 \geq 0$ а не $\geq 1.$

раскроем скобки и получим:

$-(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})-(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}) \geq -2$ (1)

Заметим что, $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy} \geq \frac {2xy}{xy}=2$

Сделаем это для всех скобок и просуммируем и получим (1) ч.т.д.

Если перемножить отрицательное число, то знак неравенства меняется:

$ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 2 \Leftrightarrow -\left( \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \right) \leq -2$

Т.е.

$ - \left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \right) -\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} \right) \leq -4$

(значит решение не работает)