Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс

a) Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$, таких, что каждое их числе $n$, $n+1$, $n+2$ представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел.
б) Останется ли верным утверждение, если вместо 3 чисел рассматривать четыре числа $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$?

Комментарий/решение

a)

$n=4x^4+4x^2$

б)

Ясно, что среди четырёх последовательных чисел найдётся число $k$ сравнимое с 3 по модулю 4.

Квадраты чисел дают остатки 0 и 1 по модулю 4.

Поэтому их сумма не может быть равна $k$

$\mathsf{a)} n=3x^2+6x+2 \Rightarrow n+(n+1)+(n+2) = (3x^2+6x+2)+(3x^2+6x+3)+(3x^2+6x+4)=9x^2+18x+9=(3x+3)^2$

$\mathsf{b)} 4n \equiv 0 \pmod{4} \Rightarrow 4n+2 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow (n-1)+(n)+(n+1)+(n+2) \equiv 2\pmod{4}$ $\mathsf{but}$ $x^2 \equiv 0; 1 \pmod{4}$