Processing math: 80%

Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып


а) n , n+1, n+2 сандарының әрқайсысы екі бүтін санның квадратта-рының қосындысы болатындай ақырсыз көп n натурал саны табылатынын дәлелдеңдер.
б) Егер үш санның орынына төрт n1, n, n+1, n+2 сандарын алсақ, тұжырымымыз ақиқат болып қала бере ме?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
8 года 4 месяца назад #

a)

n=4x4+4x2

б)

Ясно, что среди четырёх последовательных чисел найдётся число k сравнимое с 3 по модулю 4.

Квадраты чисел дают остатки 0 и 1 по модулю 4.

Поэтому их сумма не может быть равна k

  4
3 месяца 7 дней назад #

a)n=3x2+6x+2n+(n+1)+(n+2)=(3x2+6x+2)+(3x2+6x+3)+(3x2+6x+4)=9x2+18x+9=(3x+3)2

\mathsf{b)} 4n \equiv 0 \pmod{4} \Rightarrow 4n+2 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow (n-1)+(n)+(n+1)+(n+2) \equiv 2\pmod{4} \mathsf{but} x^2 \equiv 0; 1 \pmod{4}