Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып


а) n , n+1, n+2 сандарының әрқайсысы екі бүтін санның квадратта-рының қосындысы болатындай ақырсыз көп n натурал саны табылатынын дәлелдеңдер.
б) Егер үш санның орынына төрт n1, n, n+1, n+2 сандарын алсақ, тұжырымымыз ақиқат болып қала бере ме?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
8 года 4 месяца назад #

a)

n=4x4+4x2

б)

Ясно, что среди четырёх последовательных чисел найдётся число k сравнимое с 3 по модулю 4.

Квадраты чисел дают остатки 0 и 1 по модулю 4.

Поэтому их сумма не может быть равна k

  4
3 месяца 5 дней назад #

a)n=3x2+6x+2n+(n+1)+(n+2)=(3x2+6x+2)+(3x2+6x+3)+(3x2+6x+4)=9x2+18x+9=(3x+3)2

b)4n0(mod4)4n+22(mod4)(n1)+(n)+(n+1)+(n+2)2(mod4) but x20;1(mod4)