Processing math: 50%

Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс


Найдите все целые числа, представимые в виде a3+b3+c33abc, где a,b,c — натуральные числа.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 года 7 месяца назад #

Решение этой задачи (A1) можете посмотреть здесь:

https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/Putnam/2019/Putsol2019A.pdf...

  0
1 года 3 месяца назад #

a,b,cN

По неравенству Коши:

a3+b3+c333a3b3c3

Отсюдого: f(a,b,c)=3a3b3c3=abc0

Здесь мы можем заметить что, если f(a,b,c) будет делиться на 3, то и на 9 тоже будет делима, отсюдого:

f(a,b,c) = a^3 + b^3 + c^3 = a + b + c (\mod 3)

a + b + c = 0 (\mod3)

Предположим что c \geq b \geq a, тогда: c = 3k – b – a где k любое натуральное число, подставляем в нвше первое тождество, и получаем:

a^3 + b^3 + (3k – b – a)^3 – 3ab(3k – b – a) = 9k( a^2 + ab + b^2 – 3k(a + b) + 3k^2)

и тут мы видим что оно делиться на 9, отсюдого получаем ответ, что это любые числа, которые кратны 9, но не 3