Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып


a3+b3+c33abc түрінде жазуға болатын барлық бүтін сандарды табыңдар, мұндағы a, b, c — натурал сандар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 года 7 месяца назад #

Решение этой задачи (A1) можете посмотреть здесь:

https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/Putnam/2019/Putsol2019A.pdf...

  0
1 года 3 месяца назад #

a,b,cN

По неравенству Коши:

a3+b3+c333a3b3c3

Отсюдого: f(a,b,c)=3a3b3c3=abc0

Здесь мы можем заметить что, если f(a,b,c) будет делиться на 3, то и на 9 тоже будет делима, отсюдого:

f(a,b,c)=a3+b3+c3=a+b+c(mod3)

a+b+c=0(mod3)

Предположим что cba, тогда: c = 3k – b – a где k любое натуральное число, подставляем в нвше первое тождество, и получаем:

a^3 + b^3 + (3k – b – a)^3 – 3ab(3k – b – a) = 9k( a^2 + ab + b^2 – 3k(a + b) + 3k^2)

и тут мы видим что оно делиться на 9, отсюдого получаем ответ, что это любые числа, которые кратны 9, но не 3