Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс
Найдите все целые числа, представимые в виде a3+b3+c3−3abc, где a,b,c — натуральные числа.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение этой задачи (A1) можете посмотреть здесь:
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/Putnam/2019/Putsol2019A.pdf...
a,b,c∈N
По неравенству Коши:
a3+b3+c33≥3√a3⋅b3⋅c3
Отсюдого: f(a,b,c)=3√a3b3c3=abc≥0
Здесь мы можем заметить что, если f(a,b,c) будет делиться на 3, то и на 9 тоже будет делима, отсюдого:
f(a,b,c) = a^3 + b^3 + c^3 = a + b + c (\mod 3)
a + b + c = 0 (\mod3)
Предположим что c \geq b \geq a, тогда: c = 3k – b – a где k любое натуральное число, подставляем в нвше первое тождество, и получаем:
a^3 + b^3 + (3k – b – a)^3 – 3ab(3k – b – a) = 9k( a^2 + ab + b^2 – 3k(a + b) + 3k^2)
и тут мы видим что оно делиться на 9, отсюдого получаем ответ, что это любые числа, которые кратны 9, но не 3
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.