Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Оң нақты

$a,b,c$ сандары

$a+b+c=1$ теңдігін қанағаттандыратынын болса, төмендегі теңсіздікті дәлелдеңдер:

$\dfrac{ab}{1+c}+\dfrac{bc}{1+a}+\dfrac{ca}{1+b}\le \dfrac{1}{4}.$
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Егер

$ABC$ үшбұрышының бұрыштары

$\dfrac{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C}}{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\cos }^2}C}} = 2$ тепе-теңдігін қанағаттандыратынын болса, осы үшбұрыштың тікбұрышты болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Өлшемі

$2m\times n$ болатын тіктөртбұрыш өлшемі

$2\times 1$ болатын

$mn$ тіктөртбұрыш плиткалармен толық жабылған. Егер тіктөртбұрышты бос емес екі бөлікке бөлетін және плиткалардың ешқайсысының ішкі нүктелері арқылы өтпейтін түзу табылса, бұл жабуды трансверсальды деп атаймыз.
a) Өлшемі

$6\times 6$ болатын тіктөртбұрыштың 18 плиткамен жабуының кез келгені трансверсальды болатынын дәлелдеңдер.
b) Өлшемі

$6\times 7$ болатын тіктөртбұрыштың 21 плиткамен трансверсальды емес жабуы табыла ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ және

$AC$ қабырғаларынан сәйкесінше

$D$ және

$E$ нүктелері алынған.

$BE$ және

$CD$ түзулері

$F$ нүктесінде қиылысады. Егер

$B{{C}^{\text{2}}}={BD\cdot BA}+{CE\cdot CA}$ теңдігі орындалса, онда

$A$ ,

$D$ ,

$F$ және

$E$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Теңдеулер жүйесінің барлық нақты шешімдерін табыңдар:

$\left\{ \begin{array}{l} 2\sin x + 3\cos y = 3,\\ 3\sin y + 2\cos x = 4. \end{array} \right.$
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Келесі шартты қанағаттандыратын ең үлкен натурал

$n$ санын табыңдар:

$n$ саны

$\sqrt[3]{n}$ санынан аспайтын барлық натурал сандарға қалдықсыз бөлінеді.
комментарий/решение