Областная олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс

Найдите все вещественные решения системы уравнений: $ \left\{ \begin{gathered} 2\sin x + 3\cos y = 3, \\ 3\sin y + 2\cos x = 4. \\ \end{gathered} \right. $

Комментарий/решение

Возведём обе части уравнений в квадрат и сложим по отдельности левую и правую части. Получим $$4\sin^2 x+9\cos^2 y+9 \sin^2 y+4\cos^2 x+12\sin x\cos y+12\sin y\cos x=25.$$ Применяя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса суммы двух углов, получаем

$$12 (\sin x\cos y+\sin y\cos x)= 12.$$

Из этого $\sin (x+y)= 1$; $x+y=90^\circ+2 \pi l; \ l \in \mathbb{Z}.$ Теперь, делая замену $x=90^\circ-y-2 \pi l$, $ y=90^\circ-x-2 \pi l$, подставим их в исходные уравнения. Получим $5\cos y =3$ и $5\cos x =4$, откуда $x=\arccos 0,\!8+2 \pi k$ и $y=\arccos 0,\!6+ 2 \pi n;$ $k,n \in \mathbb{Z}.$