Областная олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Положительные вещественные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ удовлетворяют тождеству

$a+b+c=1$ . Для них докажите неравенство

$\frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ca}{1+b}\le \frac{1}{4}.$
комментарий/решение(3)

Задача №2. Докажите, что если в треугольнике

$ABC$ выполняется соотношение

$\dfrac{{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B+{{\sin }^{2}}C}{{{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C}=2,$ то он — прямоугольный.
комментарий/решение(3)

Задача №3. Полное замощение прямоугольника

$2m\times n$ с помощью

$mn$ прямоугольных плиток

$2\times 1$ называется

$\textit{трансверсальным}$ , если найдется прямая, делящая прямоугольник на две непустые части и не проходящая через внутренние точки плиток.
а) Докажите, что любое замощение прямоугольника

$6\times 6$ с помощью 18 плиток является трансверсальным.
б) Найдется ли не трансверсальное замощение прямоугольника

$6\times 7$ с помощью 21 плитки?
комментарий/решение(1)

Задача №4. На сторонах

$AB$ и

$AC$ треугольника

$ABC$ выбраны точки

$D$ и

$E$ , соответственно. Прямые

$BE$ и

$CD$ пересекаются в точке

$F$ . Докажите, что если

$B{{C}^{2}}=\text{ }BD\cdot BA+CE\cdot CA$ , то точки

$A$ ,

$D$ ,

$F$ и

$E$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все вещественные решения системы уравнений:

$\left\{ \begin{gathered} 2\sin x + 3\cos y = 3, \\ 3\sin y + 2\cos x = 4. \\ \end{gathered} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Найдите наибольшее натуральное число

$n$ , обладающее тем свойством, что оно делится на все натуральные числа, не превосходящие

$\sqrt[3]{n}$ .
комментарий/решение