қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Положительные вещественные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют тождеству $a+b+c=1$.
Для них докажите неравенство
$$
\frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ca}{1+b}\le \frac{1}{4}.
$$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Докажите, что если в треугольнике $ABC$ выполняется соотношение $ \dfrac{{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B+{{\sin }^{2}}C}{{{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C}=2,$
то он — прямоугольный.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Полное замощение прямоугольника $2m\times n$ с помощью $mn$ прямоугольных плиток
$2\times 1$ называется $\textit{трансверсальным}$, если найдется прямая, делящая прямоугольник на две непустые части и не проходящая через внутренние точки плиток.
а) Докажите, что любое замощение прямоугольника $6\times 6$ с помощью 18 плиток является трансверсальным.
б) Найдется ли не трансверсальное замощение прямоугольника $6\times 7$ с помощью 21 плитки?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$, соответственно. Прямые $BE$ и $CD$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что если $B{{C}^{2}}=\text{ }BD\cdot BA+CE\cdot CA$, то точки $A$, $D$, $F$ и $E$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите все вещественные решения системы уравнений:
$
\left\{ \begin{gathered}
2\sin x + 3\cos y = 3, \\
3\sin y + 2\cos x = 4. \\
\end{gathered} \right.
$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Найдите наибольшее натуральное число $n$, обладающее тем свойством, что оно делится на все натуральные числа, не превосходящие $\sqrt[3]{n}$.
комментарий/решение
комментарий/решение