Областная олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$, соответственно. Прямые $BE$ и $CD$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что если $B{{C}^{2}}=\text{ }BD\cdot BA+CE\cdot CA$, то точки $A$, $D$, $F$ и $E$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

$\angle D+\angle E = 180^{o}\\ \angle A+ \angle F =180^{o}$

Тогда соотношение запишется в виде , через теореме косинусов

$CA^2+BA^2-2CA \cdot BA \cdot cosA= \dfrac{CA^2-BA \cdot CA \cdot sin(\angle E+\angle A)}{sin \angle E} + \dfrac{BA^2-CA \cdot BA \cdot sin( \angle E- \angle A)}{sin \angle E}$

$2cosA = \dfrac{ sin(\angle E+ \angle A) + sin (\angle E - \angle A)}{sin \angle E}$

$2cosa = 2cosa$

ч.т.д

Стоп. Доказано обратное утверждение.

Опишем окружности $w_1, w_2$ около $ADC,BEF$, тогда если $H \in BC \cap w_1, \ T \in BC \cap w_2$ тогда $BD \cdot BA = BH \cdot BC , \ CE \cdot CA = CT \cdot CB$ подставим их в выражение $ BC^2 = (BH+CT) \cdot BC$ откуда $BC = BH+CT$ но это возможно когда $H=T$ , откуда $\angle CBE = \angle CAH = \angle CDH$ значит $FDBH$ и $CEFH$ вписанные, значит $\angle BFD = \angle BHD = \angle BAC$ то есть $ADFE$ - вписанный