Областная олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс
Комментарий/решение:
$\dfrac{sin^2A+sin^2B+sin^2(A+B)}{cos^2A+cos^2B+cos^2(A+B)}=2$$
$\dfrac{3-(cos^2A+cos^2B+cos^2(A+B)}{cos^2A+cos^2B+cos^2(A+B)}=2$
$\dfrac{3}{cos^2A+cos^2B+cos^2(A+B)}=3$
$cos^2A+cos^2B+cos^2(A+B)=1$
$A=90^{o}$
$cos^2B+cos^2( 90^{o}+B ) =1$
$cos^2B+sin^2B=1$
что верно
$$\frac{3-(cos^2A+cos^2B+cos^2C)}{cos^2A+cos^2B+cos^2C}=2\Rightarrow$$
$$\Rightarrow \frac{3}{cos^2A+cos^2B+cos^2C}=3 \Rightarrow cos^2A+cos^2B+cos^2C=1$$
$$ \angle A+ \angle B+ \angle C= \pi \Rightarrow cos^2A+cos^2B+cos^2(\pi -(A+B))=1 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \frac{3}{2}+\frac{1}{2} \left( cos2A+cos2B+ cos(2A+2B) \right)=1$$
$$ cos2A+cos2B+cos(2A+2B)=-1 \Rightarrow $$ $$2cos(A+B)cos(A-B) +cos^2(A+B)-sin^2(A+B)=-1$$
$$2cos(A+B) \cdot \left( cos(A-B)+cos(A+B) \right) =0 \Rightarrow$$
$$cos(A+B)=0 \Rightarrow A+B=90^o \Rightarrow \angle C= 90^o$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.