қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, III тур дистанционного этапа
Задача №1. Петя и Вася пробежали одну и ту же дистанцию. Вася бежал вдвое быстрее Пети, но стартовал на минуту позже, и Петя пришёл к финишу первым. Докажите, что Петя пробежал дистанцию меньше чем за две минуты.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. За круглым столом сидели 99 человек, все разного роста. Каждый честно ответил на два вопроса:
1. <<Вы выше, чем ваш сосед справа?>>
2. <<Вы выше, чем оба ваших соседа — справа и слева?>>.
Какое наибольшее количество ответов <<Да>> могло быть дано? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
1. <<Вы выше, чем ваш сосед справа?>>
2. <<Вы выше, чем оба ваших соседа — справа и слева?>>.
Какое наибольшее количество ответов <<Да>> могло быть дано? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №3. Два числа таковы, что их сумма, сумма их квадратов и сумма их кубов равны одному и тому же числу $m$. Докажите, что сумма четвёртых степеней этих чисел тоже равна $m$.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BE$ и серединный перпендикуляр $m$ к стороне $AB$. Оказалось, что $BE = EC$, а прямая $m$ пересекает сторону $BC$. Докажите, что угол $C$ меньше 36 градусов.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Из нечётных натуральных чисел от 1 до 47 составили 12 дробей, меньших 1, использовав каждое число по одному разу. Получившиеся дроби разбили на группы равных между собой. Какое наименьшее количество групп могло получиться?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)