қазақша
русскийАбдрахманов А.
Есеп №1. Мэр города любит красивые автомобильные номера. Номер, по его мнению, является красивым, если с помощью расстановки знаков $+$, $-$, $\times$, $/$ и скобок между и вокруг цифр номера, можно получить выражение, значение которого делится на $10$. К радости мэра, в этом месяце в городе планируется реформа автомобильных номеров. Какое наименьшее количество цифр должно содержаться в номере, чтобы каждый автомобиль в городе гарантированно обладал красивым номером? (Все номера в городе состоят только из цифр.) ( Абдрахманов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Дана клетчатая доска размера $2019 \times 2019$. В каждой клетке 2-ой строки стоит по одной белой фишке, а в каждой клетке 2018-ой строки — по одной черной. Двое играют в следующую игру: первый ходит белыми фишками, а второй — черными. За один ход можно передвинуть фишку на любое количество клеток по столбцу (разрешается передвигать фишку как вверх, так и вниз) так, чтобы фишка не вышла за пределы доски, и не перепрыгнула через фишку противника. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Может ли кто-нибудь из игроков гарантировать себе победу, и если да, то кто? (Игру начитает первый игрок, а далее ходят по очереди.) ( Абдрахманов А. )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №3. Дано некоторое натуральное число $n$. Город имеет форму некоторой связной клетчатой фигуры из $n$ клеток, в каждой клетке которой живет ровно один человек. Однажды один человек в городе заболел коронавирусом. Затем каждый день происходило следующее: все, болевшие в предыдущий день, выздоравливают, а все, не болевшие, имевшие в предыдущий день хотя бы одного болевшего соседа по стороне, заболевают. Обозначим как $f(n)$ — наибольшее возможное отношение числа заболевших к числу здоровых в некоторый момент времени, при данном $n$ и всевозможных формах города и позиции первого заболевшего. Найдите $f(n)$ как функцию от $n$. ( Абдрахманов А. )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. Екі ойыншы келесі ойынды ойнайды. $S$ төбесі бар бос граф және әртүрлі түстердегі $k$ қарындаш берілген. Бірінші ойыншы түсті атайды, содан кейін екінші ойыншы бұрын жүргізілмеген кез келген бір қабырғаны аталған түспен жүргізеді. Содан соң бірінші ойыншы қайтадан түсті атайды, екінші ойыншы қабырға жүргізеді және т.с.с. Егер ойынның бір сәтінде бір түсті қабырғалардан тұратын цикл пайда болса, онда ойын аяқталып, екінші ойыншы жеңеді. Ал егер барлық қабырғалар жүргізіліп, бірде-бір біртүсті цикл пайда болмаса, онда бірінші ойыншы жеңеді. Берілген $S > 2$ үшін, екінші ойыншы өзіне жеңісті кепілдей алатын ең үлкен $k$ мәнін табыңыз. ( Абдрахманов А. )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №5. Екі ойыншы келесі ойынды ойнайды. $S$ төбесі бар бос граф және әртүрлі түстердегі $k$ қарындаш берілген. Бірінші ойыншы түсті атайды, содан кейін екінші ойыншы бұрын жүргізілмеген кез келген бір қабырғаны аталған түспен жүргізеді. Содан соң бірінші ойыншы қайтадан түсті атайды, екінші ойыншы қабырға жүргізеді және т.с.с. Егер ойынның бір сәтінде бір түсті қабырғалардан тұратын цикл пайда болса, онда ойын аяқталып, екінші ойыншы жеңеді. Ал егер барлық қабырғалар жүргізіліп, бірде-бір біртүсті цикл пайда болмаса, онда бірінші ойыншы жеңеді. Берілген $S > 2$ үшін, екінші ойыншы өзіне жеңісті кепілдей алатын ең үлкен $k$ мәнін табыңыз. ( Абдрахманов А. )
комментарий/решение олимпиада