Pakawut Jiradilok

Задача №1. Найдите все последовательности

$a_0, a_1, a_2, \ldots$ , состоящие из натуральных чисел, такие что

$a_0 \geqslant 2015$ и при всех натуральных

$n\geqslant 1$ выполняются следующие условия:
(i)

$a_{n+2}$ делится на

$a_n$ ;
(ii)

$|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$ , где

$s_{n+1} = a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\ldots +(-1)^{n+1}a_0.$ ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Пусть

$n$ — натуральное число. Даны

$2n$ различных прямых на плоскости, среди которых нет двух параллельных. Некоторые

$n$ из этих

$2n$ прямых покрашены синим, а оставшиеся

$n$ прямых покрашены красным. Через

$\mathcal B$ обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через

$\mathcal R$ обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой. Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством

$\mathcal B$ ровно

$2n-1$ общих точек и с множеством

$\mathcal R$ тоже имеет ровно

$2n-1$ общих точек. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Пусть

$n$ — натуральное число. Пару

$n$ -ок целых чисел

$(a_1,\ldots,a_n)$ и

$(b_1,\ldots,b_n)$ назовем исключительной, если

$|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1.$ Найдите наибольшее возможное количество попарно различных

$n$ -ок целых чисел, любые две из которых образуют исключительную пару. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада