қазақша
русскийPakawut Jiradilok
Есеп №1. $a_0 \geq 2015$ және кез келген бүтін $n\geq 1$ үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\dots$ натурал сандар тізбегін табыңыздар:
(i) $a_{n+2}$ саны $a_n$ санына бөлінеді;
(ii) $|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$, бұл жерде $s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\dots+(-1)^{n+1}a_0$. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. $n$ — натурал сан болсын. Ешқандай екеуі параллель болмайтын жазықтықтағы әртүрлі $2n$ түзуді қарастырайық. $2n$ түзудің $n$ түзуі көк, ал қалғаны қызыл түске боялған. Әр нүктесі кемінде бір көк түзуде жататын нүктелер жиынын $\mathcal{B}$ арқылы, ал әр нүктесі кемінде бір қызыл түзуде жататын нүктелер жиынын $\mathcal{R}$ арқылы белгілейік. $\mathcal{B}$-ның дәл $2n-1$ нүктесі мен $\mathcal{R}$-дің дәл $2n-1$ нүктесі қандай да бір шеңбердің бойында жататын шеңбер табылатынын дәлелдеңіздер. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $n$ — натурал сан болсын. Егер әрқайсысы $n$ бүтін саннан тұратын $(a_1,\ldots,a_n)$ және $(b_1,\ldots,b_n)$ тізбектері $|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1$ теңсіздігін қанағаттандырса, онда ондай екі тізбек жұбын ерекше деп атайық. Кез келген екеуі ерекше жұп құрайтын $n$ бүтін саннан құралған ең көп дегенде қанша әртүрлі тізбек бар? ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада