қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2007 жыл
Есеп №1. $a < b$ екі натурал сан берілсін. Қатар келе жатқан $b$ сандардың ішінен, көбейтіндісі $ab$-ға бөлінетін екі сан табылатынын дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. Бір біріне тең емес екі үшмүше $f\left( x \right)$ және $g\left( x \right)$, коэффициенттерінің орындары бойынша өзгеше. Барлық нақты $x$ үшін, $f\left( x \right)\ge g\left( x \right)$ болуы мүмкін бе?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $600\times 600$ шаршысы, 4 тордан тұратын (сурет) 
түріндегі фигураларға бөлінген. Алғашқы екі фигура түріндегі фигураларда, $k$ осы тор орналасқан баған нөмірі болатындай, ${{2}^{k}}$ саны жазылған. Барлық жазылған сандардың қосындысы 9-ға бөлінетінін дәлелдеңіз.
(
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение
түріндегі фигураларға бөлінген. Алғашқы екі фигура түріндегі фигураларда, $k$ осы тор орналасқан баған нөмірі болатындай, ${{2}^{k}}$ саны жазылған. Барлық жазылған сандардың қосындысы 9-ға бөлінетінін дәлелдеңіз.
(
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение
Есеп №4. $ABC$ сүйір бұрышты, теңбүйірлі емес үшбұрышы берілсін. $H$ нүктесі осы үшбұрыштың ортоцентрі, ал $O$ және $I$ нүктелері осы үшбұрышқа сырттай және іштей сызылған шеңберлердің центрлері болсын. $OIH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер, $A$ төбесі арқылы өтеді. Үшбұрыштың бір бұрышы $60{}^\circ $ екенін дәлелдеңіз.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. 4 немесе 8 есе айырмашылығы бар екі сан, әртүрлі түске боялатындай, барлық оң нақты сандарды ең кем дегенде неше түске бояуға болады?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Бір айналымнан тұратын шахмат турниріне екі елден 10 ойыншы қатысуда. Жеңіс үшін 1 ұпай, тең ойын үшін $0,\!5$ ұпай, ал жеңіліс үшін 0 ұпай беріледі. Барлық ойыншылар әртүрлі ұпай санын жинады. Бір ойыншыда, өз отандастарымен ойнаған ойындардан жинаған ұпай сандары, қарсылас команда ойыншыларымен ойнаған ойындарда жинаған ұпай санынан кем емес екенін дәлелдеңіз.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасынан $X$ және $Y$ нүктелері, $AC$ қабырғасы бойынан $Z$ нүктесі, ал $BC$ қабырғасы бойынан $T$ нүктесі алынсын. Сонымен қатар $XZ\parallel BC$, $YT\parallel AC$ екені белгілі. $TZ$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $X$, $Y$, $D$ және $E$ нүктелері бір шеңбер бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Шексіз торлы жазықтықта бірнеше шахмат ойынының ат фигуралары орналасқан. Ешқандай торды бір аттан артық ат саны шабуылдай алмайды. (Көп жағдайда, ат орналасқан торды басқа екі ат шабуылдай алмайды, тек бір ат қана шабуылдай алады). Саша $14\times 16$ тіктөртбұрышты контур салды. Осы тіктөртбұрышта аттардың қандай ең көп саны орналаса алады?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение