А. Голованов


Задача №1.  Существуют ли такие различные натуральные числа $a$, $b$ и $c$, что число $a+1/a$ равно полусумме чисел $b+1/b$ и $c+1/c$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  По кругу написаны 2015 положительных чисел. Сумма любых двух рядом стоящих чисел больше суммы обратных к двум следующим за ними по часовой стрелке. Докажите, что произведение всех этих чисел больше 1. ( С. Берлов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Каждая точка плоскости с целыми координатами покрашена в белый или голубой цвет. Докажите, что можно выбрать цвет так, чтобы при каждом натуральном $n$ нашёлся треугольник площади $n$ с тремя вершинами выбранного цвета. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  Найдите наибольшее натуральное $n$ такое, что для любого натурального $k \le \dfrac{n}{2}$ найдутся два натуральных делителя $n$ с разностью $k$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5.  Существуют ли такие квадратные трехчлены $P$, $Q$, $R$, что для любых целых $x$ и $y$ найдется целое $z$, удовлетворяющее равенству $P(x)+Q(y)=R(z)$? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6.  Можно ли раскрасить все положительные действительные числа в 10 цветов так, чтобы любые два числа, десятичная запись которых отличается только в одном разряде, были разного цвета? (Десятичные записи, в которых все цифры, начиная с некоторой — девятки, не рассматриваются). ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7.  Каждая из точек $G$ и $H$, лежащих по разные стороны от плоскости шестиугольника $ABCDEF$, соединена со всеми вершинами шестиугольника. Можно ли расставить на получившихся 18 отрезках числа 1, 2, 3, $\dots$, 18, а в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ — некоторые вещественные числа так, чтобы на каждом отрезке было написано число, равное разности чисел, написанных в его вершинах? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №8. Дано натуральное число $c$. Последовательность $\{p_k\}$ строится по следующему правилу: $p_1$ — произвольное простое число, а при $k\geq 1$ число $p_{k+1}$ — любой простой делитель числа $p_k+c$, не встречающийся среди чисел $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_k$. Докажите, что последовательность $\{p_k\}$ не может быть бесконечной. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №9.  Найдите все функции $f(x)$, заданные и непрерывные на всей вещественной прямой, для которых при любом $x$ выполняются неравенства $$f(3x-2)\leq f(x)\leq f(2x-1).$$ ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №10.  Последовательность $(a_n)$ задана условиями $a_1=0$, ${a_{n + 1}} = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}}}{n} + 1.$ Докажите, что $a_{2016}>{1\over 2}+a_{1000}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №11.  Простые числа $p$ и $q$ отличаются не более чем в два раза. Докажите, что найдутся такие два последовательных натуральных числа, что у одного из них наибольший простой делитель равен $p$, а у другого -- $q$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №12.  Натуральные числа 1, 2, 3, $\dots$ , 100 содержатся в объединении $N$ геометрических прогрессий (не обязательно с целыми знаменателями). Докажите, что $N\geq 31$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №13.  На доске были выписаны несколько рациональных чисел. Дима списал на бумажку их дробные части. Потом все числа на доске возвели в квадрат, и Дима списал на другую бумажку дробные части получившихся чисел. Оказалось, что на Диминых бумажках написаны одинаковые наборы чисел (может быть, отличающиеся порядком). Докажите, что исходные числа на доске были целыми. (Дробная часть числа $x$ — такое число $\{x\}$, $0\leq\{x\} < 1$, что $x-\{x\}$ — целое.) ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №14.  Перед Таней и Сережей лежит куча из 2016 конфет. Таня и Сережа делают ходы по очереди, начинает Таня. При своем ходе ребенок может съесть либо одну конфету, либо, если в куче в данный момент четное число конфет, ровно половину всей кучи. Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №15.  Функции $f$ и $g$ определены на множестве всех целых чисел из промежутка $[-100; 100]$ и принимают целые значения. Докажите, что для некоторого целого $k$ число решений уравнения $f(x)-g(y)=k$ нечётно. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №16.  Равносторонний треугольник со стороной 20 разбит тремя семействами параллельных прямых на 400 равносторонних треугольничков со стороной 1. Какое наибольшее количество этих треугольничков можно пересечь (во внутренних точках) одной прямой? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №17.  Функции $f$ и $g$ определены на множестве всех целых чисел из промежутка $[-100; 100]$ и принимают целые значения. Докажите, что для некоторого целого $k$ число решений уравнения $f(x)-g(y)=k$ нечётно. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №18.  В Графландии 60 городов, каждые два из которых соединены дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно покрасить четыре города в красный цвет, а другие четыре — в зелёный так, чтобы каждая дорога, соединяющая красный город с зелёным, была направлена от красного к зелёному. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №19.  Натуральное число $q$ назовём удобным знаменателем для вещественного числа $\alpha$, если $|\alpha-{p\over q}|<{1\over 10q}$ при некотором целом $p$. Докажите, что если у двух иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$ множества удобных знаменателей совпадают, то $\alpha+\beta$ или $\alpha-\beta$ — целое число. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №20.  Прямоугольник на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 разбит на фигурки домино (прямоугольники, состоящие из двух клеток с общей стороной). Докажите, что все вершины клеток на границе и внутри прямоугольника можно раскрасить в три цвета так, чтобы для каждых двух вершин, находящихся на расстоянии 1, выполнялось следующее условие: эти вершины разного цвета, если соединяющий их отрезок лежит на границе одной из фигурок домино, и одинакового цвета в противном случае. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №21.  Первые $k$ членов $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ последовательности $(a_n)$ — различные натуральные числа, а при $n > k$ число $a_n$ — наименьшее натуральное число, не представимое в виде суммы нескольких (возможно, одного) из чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{n-1}$. Докажите, что $a_n=2a_{n-1}$ при всех достаточно больших $n$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №22.  Существуют ли такая последовательность действительных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\dots$ и такой непостоянный многочлен $P(x)$, что $a_m+a_n=P(mn)$ для любых натуральных $m$ и $n$? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №23.  Докажите, что при любом вещественном $\alpha > 0$ число $[\alpha n^2]$ четно для бесконечного множества натуральных $n$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №24.  Существует ли такое натуральное $n$, что среди двухсотых цифр после запятой в десятичных записях чисел $\sqrt{n}$, $\sqrt{n+1}$, $\sqrt{n+2}$, $\dots$, $\sqrt{n+999}$ сто раз встречается 0, сто раз — единица, $\dots$, сто раз — девятка? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №25.  Ожерелье состоит из 100 синих и некоторого количества красных бусин. Известно, что на любом отрезке ожерелья, содержащем 8 синих бусин, есть не менее 5 красных. Какое наименьшее количество красных бусин может быть в ожерелье? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №26.  Даны три вещественных числа. Дробная часть произведения любых двух из них равна $1\over 2$. Докажите, что эти числа иррациональны. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №27.  Можно ли расставить по кругу все составные натуральные числа, не превосходящие $10^6$, так, чтобы никакие два соседних числа не были взаимно просты? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №28.  На доске записаны несколько иррациональных чисел. Известно, что для любых двух чисел $a$ и $b$, записанных на доске, хотя бы одно из чисел $a\over b+1$ и $b\over a+1$ рационально. Какое наибольшее количество чисел может быть записано? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №29.  В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все положительные вещественные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся в 4 или 8 раз, были покрашены в разные цвета? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №30.  Два многочлена сотой степени $f(x)=a_{100}x^{100}+a_{99}x^{99}+\dots+a_1x+a_0$ и $g(x)=b_{100}x^{100}+b_{99}x^{99}+\dots+b_1x+b_0$ отличаются друг от друга перестановкой коэффициентов. Известно, что $a_i\ne b_i$ при всех $i=0$, 1, 2, $\dots$, 100. Может ли оказаться, что $f(x)\geq g(x)$ при всех вещественных $x$? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №31.  Набором показателей натурального числа назовем неупорядоченный список показателей, с которыми простые числа входят в его разложение на простые множители. Например, числа $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5^1$ и $882=3^2\cdot 2^1\cdot 7^2$ имеют один и тот же набор показателей 1, 2, 2. Две возрастающие арифметические прогрессии $(a_n)$ и $(b_n)$ таковы, что при каждом $n$ числа $(a_n)$ и $(b_n)$ имеют одинаковые наборы показателей. Докажите, что эти прогрессии пропорциональны. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №32.  На плоскости провели 100 прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, и отметили все точки их пересечения. После этого все прямые и $k$ отмеченных точек стерли. При каком наибольшем $k$ по оставшимся точкам пересечения заведомо можно восстановить исходные прямые? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №33.  На столе лежит чётное число карточек, на каждой из которых написано натуральное число. Пусть $a_k$ — количество карточек, на которых написано число $k$. Оказалось, что $$a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-\ldots\geq 0 $$ для каждого натурального $n$. Докажите, что карточки можно разложить по парам, в каждой из которых числа отличаются на 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №34.  Четыре последовательных трехзначных числа делят с остатком соответственно на четыре последовательных двузначных числа. Какое наименьшее число разных остатков может получиться? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №35.  Решите уравнение $p^2-pq-q^3=1$ в простых числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №36.  Докажите, что любой многочлен четвертой степени можно представить в виде $P(Q(x))+R(S(x))$, где $P$, $Q$, $R$, $S$ — квадратные трехчлены. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №37.  Докажите, что для любых положительных $x$, $y$, $z$, для которых $xyz=1$, выполнено неравенство $${x^3\over x^2+y}+{y^3\over y^2+z}+{z^3\over z^2+x}\geq {3\over 2}.$$ ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №38.  Четырехугольник $ABCD$ является одновременно вписанным и описанным. Вписанная окружность касается его сторон $AB$ и $CD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Перпендикуляры, восставленные к сторонам $AB$ и $CD$ в точках $A$ и $D$ соответственно, пересекаются в точке $U$, перпендикуляры к ним же в точках $X$ и $Y$ пересекаются в точке $V$, и, наконец, в точках $B$ и $C $ — в точке $W$. Докажите, что $U$, $V$, $W$ лежат на одной прямой. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №39.  Решите уравнение ${1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}$ в натуральных числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №40.  Пусть $p=4k+3$ — простое число, а $m\over n$ — такая несократимая дробь, что $${1\over 0^2+1}+{1\over 1^2+1}+\dots+{1\over (p-1)^2+1}={m\over n}.$$ Докажите, что $2m-n$ делится на $p$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №41.  Таня и Серёжа по очереди ставят фишки на свободные клетки шахматной доски. Первым ходом Таня ставит фишку на любую клетку доски. Каждым следующим ходом Серёжа должен ставить фишку в тот столбец, куда только что походила Таня, а Таня — в ту строку, куда только что походил Серёжа. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №42.  $P(n)$ — квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. Для каждого натурального $n$ у числа $P(n)$ нашелся собственный делитель $d_n$ (т.е. $1 < d_n < P(n)$) так, что последовательность $(d_n)$ — возрастающая. Докажите, что либо $P(n)$ можно разложить в произведение двух линейных многочленов с целыми коэффициентами, либо значения $P(n)$ во всех натуральных точках делятся на одно и то же натуральное $m > 1$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №43.  Дано слово более чем из 10 букв, в котором любые две соседние буквы различны. Докажите, что можно поменять местами две соседние буквы так, чтобы полученное слово не было периодическим (не разбивалось на одинаковые подслова). ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №44.  Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цветы использованы). Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+{1\over b}$ и $b+{1\over a}$ разного цвета. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №45.  На отрезке натурального ряда имеется ровно 10 четвертых степеней и ровно 100 кубов. Докажите, что на этом отрезке не менее 2000 точных квадратов. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №46.  На каждой клетке бесконечной шахматной доски написано наименьшее количество ходов, за которое конь может дойти от этой клетки до данной клетки $O$. Назовем клетку особой, если на ней написано число 100, а на всех соседних с ней (по стороне) клетках — 101. Сколько существует особых клеток? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №47.  Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда учительница попросила поднять руку красных детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку синих детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых ребенка. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №48.  Множество вещественных чисел $M$ содержит больше одного элемента. Известно, что для любого $x$, лежащего в $M$, хотя бы одно из чисел $3x-2$ и $-4x+5$ также лежит в $M$. Докажите, что множество $M$ бесконечно. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №49.  Три различных ненулевых числа таковы, что при любой расстановке этих чисел на места коэффициентов квадратного трехчлена этот трехчлен будет иметь целый корень. Докажите, что у всех таких трехчленов есть корень 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №50.  $P(x)$ — квадратный трехчлен. Какое наибольшее количество членов, равных сумме двух предыдущих, может быть в последовательности $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $\dots$? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №51.  Все клетки доски $20\times 20$ пусты. Миша и Саша по очереди (начинает Миша) ставят по одной фишке в свободные клетки. Игрок, после хода которого на доске нашлись четыре фишки, стоящие на пересечении двух строк и двух столбцов, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №52.  Докажите, что все составные натуральные числа, не превосходящие $10^6$, можно расставить по кругу так, чтобы никакие два соседних числа не были взаимно просты. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №53.  В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все натуральные числа так, чтобы любые два натуральных числа, отличающиеся в 4 или 8 раз, были покрашены в разные цвета? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №54.  Несовпадающие квадратные трехчлены $f(x)$ и $g(x)$ отличаются друг от друга перестановкой коэффициентов. Может ли оказаться, что $f(x)\geq g(x)$ при всех вещественных $x$? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №55.  Квадратные трехчлены $f$, $g$ и $h$ таковы, что при каждом вещественном $x$ числа $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ являются длинами сторон некоторого треугольника, а числа $f(x)-1$, $g(x)-1$ и $h(x)-1$ не являются длинами сторон треугольника. Докажите, что хотя бы из многочленов $f+g-h$, $f+h-g$, $g+h-f$ постоянен. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №56.  Назовем натуральное число хорошим, если сумма обратных величин всех его натуральных делителей — целая. Докажите, что если $m$ — хорошее число, а $p > m$ — простое, то число $pm$ не является хорошим. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №57.  Дано натуральное число $c$. Последовательность $\{p_k\}$ строится по следующему правилу: $p_1$ — произвольное простое число, а при $k\geq 1$ число $p_{k+1}$ — любой простой делитель числа $p_k+c$, не встречающийся среди чисел $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_k$. Докажите, что последовательность $\{p_k\}$ не может быть бесконечной. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №58.  Существует ли квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, все значения которого в натуральных точках — натуральные степени двойки? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №59.  Каждая из точек $G$ и $H$ соединена непересекающимися отрезками со всеми вершинами шестиугольника $ABCDEF$. Можно ли расставить на получившихся 18 отрезках числа 1, 2, 3, $\dots$, 18, а в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ — некоторые числа (не обязательно целые) так, чтобы на каждом отрезке было написано число, равное разности чисел, написанных в его вершинах? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №60.  К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель, к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что после выполнения нескольких операций получится число, кратное $3^{2000}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №61.  Многочлен $P(x,y)$ с вещественными коэффициентами таков, что $P(x+2y, x+y)=P(x,y)$. Докажите, что для некоторого многочлена $Q(t)$ имеет место равенство $P(x,y)=Q\left((x^2-2y^2)^2\right)$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №62.  Дан параллелограмм $ABCD$. Вневписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $L$, а продолжения стороны $BC$ — в точке $K$. Прямая $DK$ пересекает диагональ $AC$ в точке $X$; прямая $BX$ пересекает медиану $CC_1$ треугольника $ABC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YL$, медиана $BB_1$ треугольника $ABC$ и его же биссектриса $CC'$ пересекаются в одной точке. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №63.  Существует ли возрастающая последовательность натуральных чисел $(a_n)$ такая, что среди разностей $a_{n+1}-a_n$ встречаются все натуральные числа ровно по одному разу, а среди разностей {$a_{n+2}-a_n$} встречаются только натуральные числа, большие 2015, причем тоже ровно по одному разу? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №64.  К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель, к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что после выполнения нескольких операций получится число, кратное $3^{2000}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №65.  Докажите, что существует натуральное $n$ такое, что в десятичной записи каждого из чисел $\sqrt{n}$, $\root 3\of n$, $\root 4\of n$, $\dots$, $\root {10}\of n$ сразу после запятой стоят цифры 2015$\dots$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №66.  Дано 100 различных вещественных чисел. Докажите, что их можно расставить в клетках таблицы $10\times 10$ так, чтобы ни у каких двух чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, разность не была равна 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №67.  Для двух квадратных трёхчленов $P(x)$ и $Q(x)$ нашлась такая линейная функция $\ell(x)$, что $P(x)=Q(\ell(x))$ при всех вещественных $x$. Сколько может быть таких линейных функций $\ell(x)$? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №68.  Даны три различных простых числа. На какое наибольшее количество из них может делиться их сумма? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №69.  Решите уравнение $p^2-pq-q^3=1$ в простых числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №70.  Решите уравнение ${1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}$ в натуральных числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №71.  Вершины правильного 2012-угольника обозначены буквами $A_1$, $A_2$, $\dots$ $A_{2012}$ в некотором порядке. Известно, что если $k+l$ и $m+n$ дают одинаковые остатки при делении на 2012, то хорды $A_kA_l$ и $A_mA_n$ не имеют общих точек. Вася идет вокруг многоугольника, и видит, что первые две вершины обозначены $A_1$ и $A_4$. Как обозначена десятая по ходу вершина? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №72.  Пусть $p=1601$ (простое число), а $m\over n$ — несократимая дробь, равная сумме тех из дробей $${1\over 0^2+1},\quad{1\over 1^2+1},\quad\dots,\quad{1\over (p-1)^2+1},$$ знаменатели которых не делятся на $p$. Докажите, что $2m+n$ делится на $p$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №73.  Таня и Серёжа по очереди ставят фишки на свободные клетки шахматной доски. Первым ходом Таня ставит фишку на любую клетку доски. Каждым следующим ходом Серёжа должен ставить фишку в тот столбец, куда только что походила Таня, а Таня — в ту строку, куда только что походил Серёжа. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №74.  Дано слово более чем из 10 букв, в котором любые две соседние буквы различны. Докажите, что можно поменять местами две соседние буквы так, чтобы полученное слово не было периодическим (не разбивалось на одинаковые подслова). ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №75.  Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цвета использованы). Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+b$ и $ab$ покрашены в разные цвета. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №76.  Докажите, что среди 100000 последовательных стозначных чисел найдется $n$, такое что длина периода десятичной записи числа ${1\over n}$ больше 2011. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №77.  Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда учительница попросила поднять руку красных детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку синих детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых ребенка. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №78.  Квадратный трехчлен $P(x)$, имеющий два вещественных корня, для всех $x$ удовлетворяет неравенству $P(x^3+x)\geq P(x^2+1)$. Найдите сумму корней трехчлена $P(x)$. ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №79.  Последовательность натуральных чисел строится по следующему правилу: каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением произведения всех его различных простых делителей (например, после числа 12 должно идти число 18, а после числа 125 — число 130). Докажите, что любые две последовательности, построенные таким образом, имеют общий член. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада