Ф. Бахарев


Задача №1.  В окружность с центром $O$ и радиусом 1 вписан остроугольный треугольник $ABC$, все углы которого больше $45^\circ$. Из точки $B$ опущен перпендикуляр $BB_1$ на прямую $CO$, а из точки $B_1$ опущен перпендикуляр $B_1B_2$ на прямую $AC$. Точно так же из точки $C$ опущен перпендикуляр $CC_1$ на прямую $BO$, а из точки $C_1$ опущен перпендикуляр $C_1C_2$ на прямую $AB$. Прямые $B_1B_2$ и $C_1C_2$ пересекаются в точке $A_3$. Аналогично определяются точки $B_3$ и $C_3$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $A_3B_3C_3$. ( Ф. Петров, Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2.  Квадрат $600\times 600$ разбит на фигурки из 4 клеток вида

В фигурках первых двух типов в закрашенных клетках записано число $2^k$, где $k$ — номер столбца, в котором находится эта клетка. Докажите, что сумма всех записанных чисел делится на 9. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3.  Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Некоторая окружность проходит через точки $B$ и $C$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника. На ее дуге, лежащей внутри треугольника, выбраны точки $D$ и $E$ так, что отрезки $BD$ и $CE$ проходят через точку $O$. Перпендикуляр $DD_1$ к стороне $AB$ и перпендикуляр $EE_1$ к стороне $AC$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что точки $A$, $M$ и $O$ лежат на одной прямой. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  Точки $H$ и $M$ — ортоцентр и точка пересечения медиан остроугольного треугольника $ABC$. Точка $B_1$ — середина дуги $AC$ описанной окружности этого треугольника. Известно, что длина отрезка $B_1M$ равна радиусу описанной окружности. Докажите, что $BM\geq BH$. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5.  На плоскости даны точки $A$ и $B$, а также прямая $\ell$, проходящая через точку $B$. Рассмотрим произвольную окружность $\omega$, касающуюся прямой $\ell$ в точке $B$ и не содержащую внутри себя точку $A$. Касательные к $\omega$, проведенные из точки $A$, касаются $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямая $XY$ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности $\omega$. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6.  Точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Точки $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Известно, что $\angle BIC_1 + \angle CIB_1 = 180^\circ$. Докажите равенство $AB+AC=3BC$. ( Д. Ростовский, Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада