Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2007 год

Дан остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$. Точка $H$ — его ортоцентр, точки $O$ и $I$ — центры его описанной и вписанной окружностей соответственно. Описанная окружность треугольника $OIH$ проходит через вершину~$A$. Докажите, что один из углов треугольника равен $60^\circ$. ( из материалов олимпиад )

Комментарий/решение

Б.О.О. в четырехугольнике $BHIO$ внутренние углы $\angle B, \angle I$ в сумме дают больше $180^\circ$. Тогда раз $IA$ - биссектриса $HAO$, то $IO=IH$, следовательно $C \in (HIO)$. Поэтому $\angle AOC=2\angle ABC=\angle AHC=180^\circ-\angle ABC$, значит $\angle ABC=60^\circ.$