Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур регионального этапа
Задача №1. Как без остатка разрезать клетчатый квадрат размером 8×8 клеточек на 10 клетчатых прямоугольников, чтобы все прямоугольники имели различные площади? Все разрезы должны проходить по границам клеточек.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Учитель придумал ребус, заменив в примере a+b=c на сложение двух натуральных чисел цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными. (например, если a=23, а b=528, то c=551, и получился, с точностью до выбора букв, ребус АБ+ВАГ=ВВД). Оказалось, что по получившемуся ребусу однозначно восстанавливается исходный пример. Найдите наименьшее возможное значение суммы c.
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BK и CL. На отрезке BK отмечена точка N так, что LN∥AC. Оказалось, что NK=LN. Найдите величину угла ABC.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Числа 1, 2, …, 1000 разбили на два множества по 500 чисел: красные k1, k2, …, k500 и синие s1, s2, …, s500. Докажите, что количество таких пар m и n, у которых разность km−sn дает остаток 7 при делении на 100, равно количеству таких пар m и n, у которых разность sn−km дает остаток 7 при делении на 100. Здесь рассматриваются все возможные разности, в том числе и отрицательные.
Напомним, что остатком от деления целого числа a на 100 называется разность между числом a и ближайшим числом, не большим a и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен 2022−2000=22, а остаток от деления числа −11 на 100 равен −11−(−100)=89. ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1)
Напомним, что остатком от деления целого числа a на 100 называется разность между числом a и ближайшим числом, не большим a и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен 2022−2000=22, а остаток от деления числа −11 на 100 равен −11−(−100)=89. ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1)
Задача №5. При каком наибольшем n существует выпуклый n-угольник, у которого длины диагоналей принимают не больше двух различных значений?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)