Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур регионального этапа

Задача №1.  Как без остатка разрезать клетчатый квадрат размером $8\times 8$ клеточек на 10 клетчатых прямоугольников, чтобы все прямоугольники имели различные площади? Все разрезы должны проходить по границам клеточек. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Учитель придумал ребус, заменив в примере $a+b = c$ на сложение двух натуральных чисел цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными. (например, если $a = 23,$ а $b = 528,$ то $c = 551,$ и получился, с точностью до выбора букв, ребус $\text{АБ}+\text{ВАГ} = \text{ВВД}$). Оказалось, что по получившемуся ребусу однозначно восстанавливается исходный пример. Найдите наименьшее возможное значение суммы $c.$ ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BK$ и $CL$. На отрезке $BK$ отмечена точка $N$ так, что $LN \parallel AC.$ Оказалось, что $NK = LN$. Найдите величину угла $ABC$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Числа 1, 2, $\ldots,$ 1000 разбили на два множества по 500 чисел: красные $k_1,$ $k_2,$ $\ldots,$ $k_{500}$ и синие $s_1,$ $s_2,$ $\ldots,$ $s_{500}.$ Докажите, что количество таких пар $m$ и $n$, у которых разность $k_m-s_n$ дает остаток 7 при делении на 100, равно количеству таких пар $m$ и $n$, у которых разность $s_n-k_m$ дает остаток 7 при делении на 100. Здесь рассматриваются все возможные разности, в том числе и отрицательные.
   Напомним, что остатком от деления целого числа $a$ на 100 называется разность между числом $a$ и ближайшим числом, не большим $a$ и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен $2022-2000 = 22$, а остаток от деления числа $-11$ на 100 равен $-11-(-100) = 89.$ ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  При каком наибольшем $n$ существует выпуклый $n$-угольник, у которого длины диагоналей принимают не больше двух различных значений? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---