Эйлер атындағы олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Есеп №1. Өлшемі

$8\times 8$ тор тақтасын аудандары әр түрлі болатын 10 тіктөртбұрышқа кесуге бола ма? Кесу кезінде қалдық қалмауы керек. Кесу тек тор бойымен ғана орындалу керек. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Мұғалім ребус ойлап тапты:

$a+b = c$ натурал сандар қосындысының мысалында сандардың цифрларын әріптермен ауыстырды. Яғни, бірдей цифрлер бірдей әріптермен, ал әртүрлі цифрлар әртүрлі әріптермен ауыстырыл-ды (мысалы, егер

$a = 23$ , ал

$b = 528$ , ендеше

$c = 551$ , сонда,

$АБ+ВАГ = ВВД$ түрдегі ребусы шығады). Бастапқы құрастырылған ребустағы сандарды нақты түрде табылатыны белгілі болды (демек бір ғана шешімі бар).

$c$ қосындысының ең кіші мәнің анықтаңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$BK$ және

$CL$ биссектриссалары жүргізілген.

$BK$ кесіндісінде

$N$ нүктесі алынған солай,

$LN \parallel AC$ болатындай.

$NK = LN$ екені белігілі болды.

$ABC$ бұрышының өлшемін табыңыз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. 1, 2,

$\ldots$ , 1000 сандарын 500 саннан екі жиынға бөлді: қызыл

$k_1,$

$k_2,$

$\ldots$ ,

$k_{500}$ және көк

$s_1,$

$s_2,$

$\ldots$ ,

$s_{500}.$

$k_m-s_n$ айырмасы 100-ге бөлгенде 7 қалдық беретіндей

$m$ мен

$n$ жұптары және

$s_n-k_m$ айырмасы 100-ге бөлгенде 7 қалдық беретіндей

$m$ мен

$n$ жұптары тең екенін дәлелдеңіз. Мына есепте мүмкін бүкіл айырмалар қарастырылады, сонымен қатар теріс айырмалар.
Бүтін a санының 100-ге бөлгендегі қалдығы деп a және a-дан үлкен емес ең үлкен 100-ге бөлінетін санды атайды. Мысалы, 2022-ні 100-ге бөлгендегі қалдығы

$2022-2000 = 22$ ,

$-11$ -ді 100-ге бөлгендегі қалдығы

$-11-(-100) = 89$ . ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Диагональ ұзындықтары ең көп дегенде екі түрлі мән қабылдайтындай дөңес

$n$ -бұрыш үшін ең үлкен

$n$ қандай? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)