Эйлер атындағы олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Есеп №1.  Өлшемі $8\times 8$ тор тақтасын аудандары әр түрлі болатын 10 тіктөртбұрышқа кесуге бола ма? Кесу кезінде қалдық қалмауы керек. Кесу тек тор бойымен ғана орындалу керек. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Мұғалім ребус ойлап тапты: $a+b = c$ натурал сандар қосындысының мысалында сандардың цифрларын әріптермен ауыстырды. Яғни, бірдей цифрлер бірдей әріптермен, ал әртүрлі цифрлар әртүрлі әріптермен ауыстырыл-ды (мысалы, егер $a = 23$, ал $b = 528$, ендеше $c = 551$, сонда, $АБ+ВАГ = ВВД$ түрдегі ребусы шығады). Бастапқы құрастырылған ребустағы сандарды нақты түрде табылатыны белгілі болды (демек бір ғана шешімі бар). $c$ қосындысының ең кіші мәнің анықтаңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $BK$ және $CL$ биссектриссалары жүргізілген. $BK$ кесіндісінде $N$ нүктесі алынған солай, $LN \parallel AC$ болатындай. $NK = LN$ екені белігілі болды. $ABC$ бұрышының өлшемін табыңыз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4.  1, 2, $\ldots$, 1000 сандарын 500 саннан екі жиынға бөлді: қызыл $k_1,$ $k_2,$ $\ldots$, $k_{500}$ және көк $s_1,$ $s_2,$ $\ldots$, $s_{500}.$ $k_m-s_n$ айырмасы 100-ге бөлгенде 7 қалдық беретіндей $m$ мен $n$ жұптары және $s_n-k_m$ айырмасы 100-ге бөлгенде 7 қалдық беретіндей $m$ мен $n$ жұптары тең екенін дәлелдеңіз. Мына есепте мүмкін бүкіл айырмалар қарастырылады, сонымен қатар теріс айырмалар.
   Бүтін a санының 100-ге бөлгендегі қалдығы деп a және a-дан үлкен емес ең үлкен 100-ге бөлінетін санды атайды. Мысалы, 2022-ні 100-ге бөлгендегі қалдығы $2022-2000 = 22$, $-11$-ді 100-ге бөлгендегі қалдығы $-11-(-100) = 89$. ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5.  Диагональ ұзындықтары ең көп дегенде екі түрлі мән қабылдайтындай дөңес $n$-бұрыш үшін ең үлкен $n$ қандай? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---