Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1.  Диагонали трапеции $ABCD$ $(AD \parallel BC)$ пересекаются в точке $K.$ Внутри треугольника $ABK$ нашлась такая точка $M,$ что $\angle MBC = \angle MAD,$ $\angle MCB = \angle MDA.$ Докажите, что прямая $MK$ параллельна основаниям трапеции. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Петя, Вася и Толя вернулись с рыбалки, на которой каждый из них поймал некоторое количество рыб (хотя бы одну). После рыбалки они стали хвастаться своими уловами. Петя сказал: «Я поймал рыб не меньше, чем каждый из остальных!». Вася сказал: «Я поймал рыб не меньше, чем Петя и Толя в сумме!». Толя сказал: «Я поймал на $25\%$ больше рыб, чем Вася!». Позже выяснилось, что каждый из ребят преувеличил свой улов не более, чем в $a$ раз. Какое наименьшее значение могло принимать число $a$? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  При каких натуральных $n$ можно так отметить несколько клеток доски $n\times n$, чтобы во всех строках и столбцах было чётное число отмеченных клеток, а на всех $4n-6$ диагоналях, длина которых больше одной клетки, — нечётное? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Дано натуральное число $n.$ За одну операцию можно либо вычесть из имеющегося числа любое натуральное число, меньшее его наименьшего простого делителя, либо разделить его на его наименьший простой делитель. Существует ли такое составное $n,$ что из него нельзя получить простое число менее, чем за 2021 операцию? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---