Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1.

$ABCD$ трапециясының

$(AD \parallel BC)$ диагональдары

$K$ нүктесінде қиылысады.

$ABK$ үшбұрышының ішінде

$\angle MBC = \angle MAD,$

$\angle MCB = \angle MDA$ болатындай

$M$ нүктесі алынған.

$MK \parallel AD$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Петя, Вася және Толя балық аулап келді (әрқайсысы кем дегенде бір балық аулаған). Олар өздерінің аулаған балықтарымен мақтана бастады. Петя айтты: «Мен қалғандарының әрқайсысынан кем емес балық ауладым!». Вася айтты: «Мен Петя мен Толя аулаған балық санынан кем емес балық ауладым!». Толя айтты: «Мен Вася аулаған балық санынан

$25\%$ көбірек балық ауладым!». Біраз уақыттан кейін, әр бала өзінің аулаған балық санын ең көп дегенде

$a$ есе асырып айтқаны белгілі болған.

$a$ санының ең кіші мәні нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Натурал

$n$ санының қандай мәнінде

$n\times n$ тақтаның бірнеше клеткаларын келесі шарттар орындалатындай белгілеуге болады: әр бағанда және әр жолда белгіленген клеткалар саны жұп, ал ұзындығы бір клеткадан көп болатын әр

$4n-6$ диагональдардың әрқайсысында белгіленген клеткалар саны тақ болады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Натурал

$n$ саны берілген. Бір операцияда жазылған санды сол санның ең кіші жай бөлгішінен кіші санға азайтса болады, немесе жазылған санды сол санның ең кіші жай бөлшегіне бөлуге болады. 2021-ден кем операция жасап жай сан алуға болмайтындай, құрама

$n$ саны табылады ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

результаты