Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1.  $ABCD$ трапециясының $(AD \parallel BC)$ диагональдары $K$ нүктесінде қиылысады. $ABK$ үшбұрышының ішінде $\angle MBC = \angle MAD,$ $\angle MCB = \angle MDA$ болатындай $M$ нүктесі алынған. $MK \parallel AD$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2.  Петя, Вася және Толя балық аулап келді (әрқайсысы кем дегенде бір балық аулаған). Олар өздерінің аулаған балықтарымен мақтана бастады. Петя айтты: «Мен қалғандарының әрқайсысынан кем емес балық ауладым!». Вася айтты: «Мен Петя мен Толя аулаған балық санынан кем емес балық ауладым!». Толя айтты: «Мен Вася аулаған балық санынан $25\%$ көбірек балық ауладым!». Біраз уақыттан кейін, әр бала өзінің аулаған балық санын ең көп дегенде $a$ есе асырып айтқаны белгілі болған. $a$ санының ең кіші мәні нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3.  Натурал $n$ санының қандай мәнінде $n\times n$ тақтаның бірнеше клеткаларын келесі шарттар орындалатындай белгілеуге болады: әр бағанда және әр жолда белгіленген клеткалар саны жұп, ал ұзындығы бір клеткадан көп болатын әр $4n-6$ диагональдардың әрқайсысында белгіленген клеткалар саны тақ болады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4.  Натурал $n$ саны берілген. Бір операцияда жазылған санды сол санның ең кіші жай бөлгішінен кіші санға азайтса болады, немесе жазылған санды сол санның ең кіші жай бөлшегіне бөлуге болады. 2021-ден кем операция жасап жай сан алуға болмайтындай, құрама $n$ саны табылады ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---